法線ベクトルで与えられる平面からXY平面に座標をマッピングする

Question

したがって、法線ベクトルで与えられた平面で3次元形状の断面を計算するアルゴリズムがあります。

しかし、私の現在の問題は、断面が3D点（そのすべての面にある）に設定されていることです。この座標をXY平面にマッピングする必要があります。

プレーンノーマルが（0,0、c）のようなものなら、これは完璧です - ちょうどxとy座標をコピーしてzを破棄します。

ここに私の質問があります：私は他の平野をどのように変換するかわからないので、誰が私に今何をすべきかについて何かヒントを与えることができますか？

Answer 1

はあなたのペインには、私たちは「私たちは、これらを選んだ2つの基底ベクトルとペインのためのゼロ点

基本ベクトル

を必要とする座標変換のために法線ベクトル

n=(xn,yn,zn) 

によって定義されますx/yペインにフィッティングすることができます（後でエッジケースを参照してください）。

b1=(1,0,zb1) 
b2=(0,1,zb2) 

そして、我々は

​​（constのスカラーC）

は今、この解決これら二つは本当に

を塩基であることを確認したい：

b1 x b2= (0*zb2-zb1*1,zb1*0-1*zb2,1*1-0*0) = (zb1,zb2,1) 
zb1*c=xn 
zb2*c=yn 
1*c=zn 

c=zn, 
zb2=yn/c=yn/zn 
zb1=xn/c=xn/zn 

b1=(1,0,yn/zn) 
b2=(0,1,xn/zn) 

をし、それを

bv1=(1,0,yn/zn)*sqrt(1+(yn/zn*yn/zn)) 
bv2=(0,1,yn/zn)*sqrt(1+(xn/zn*xn/zn)) 

を正規化

このケースでは法線ベクトルはx/yペインに平行であり、自然な基底ベクトルは存在しません。この場合、エステティックPOVで基底b1とb2ベクトルを選択し、同じソリューションプロセスか、単にbv1とbv2を選択してください。

ゼロポイント

あなたはOQであなたのペインにはアンカーポイントの話を聞いたが、並列ペインの無限の家族からあなたのウィンドウを区別する必要があります。そうでない場合、私はあなたが（XAのアンカーポイントを持っていると仮定し、あなたのアンカーポイントがある場合

は、（0,0,0）が、これは座標変換のための完璧なアンカーポイントであり、あなたのペインには、

x*xn+y*yn+z*zn=0, 
(y0,y0,z0)=(0,0,0) 

を持っています、ya、za）、ペインは

x*xn+y*yn+z*zn=d 

とd constスカラーを持っています。

x*xn+y*yn+z*zn=d 

に対してこれを解決

(x0, y0, z0) = c * (xn,yn,zn) 

と

P0=(x0,y0,z0) 

：自然に適合されたがペイン上に元のゼロ点の通常の投影によって定義され、ウィンドウのポイントであろう

は

c*xn*xn+c*yn*yn+c*zn*zn=d 

と

c=d/(xn*xn+yn*yn+zn*zn) 

従って

P0=(x0,y0,z0)=c*(xn,yn,zn) 

が発見されました。

最終的な変換が

新しい座標である

P0+x'*bv1+y'*bv2 

xは

「とY」としてあなたペインのすべてのポイント（表示したい、すなわち、これらの点を）表すことによって達成されます。私たちはP0、bv1、bv2を知っているので、これはかなり簡単です。エッジケースではない場合、bv1.yとbv2.xにはゼロがあり、さらに問題が軽減されます。

x 'とy'は、あなたが望む新しい座標です。