プログラムで多変量方程式系を解く方法は？

Question

私はいくつかのJavaコードの結果である多変量方程式のシステムを解こうとしています。ランタイムの前には、フォームの数も変数の数も分かっていません。例は

ZeroDivisionError: polynomial division 

変数は区間[0,1]のすべてのあるエラーをスロー

(I) (e-a*d*e-b*d*e+2*b*d*f+2*b*d*e*g)/(-1+a*d+b*d)+f == 0 

(II) e*g+((f+e*g)*a*d)/(-1+a*d+b*d)==0 

(III) -e*h+((-f-e*g)*d)/(-1+a*d+b*d)==0 

(IV) -e*j+((-f-e*g)*c)/(-1+a*d+b*d)==0 

Iは、単に入力を返すSymjaを用いて試みたが、SymPy、であり、そしてなります私はすべての解決策が必要です。 Mathematicaはこれを解決することができますが、商用ソフトウェアであるため残念ながらこのプロジェクトでは使用できません。

使用するソフトウェアに関する推奨事項に感謝します。 SymPyが本当に好きだったのですが、なぜこのエラーが発生するのか分かりません。アイディアは高く評価されています。

from sympy.solvers import solve 
from sympy.abc import a,b,c,d,e,f,g,h,j 

lst = a,b,c,d,e,f,g,h,j 
sys = [(e-a*d*e-b*d*e+2*b*d*f+2*b*d*e*g)/(-1+a*d+b*d)+f,e*g+((f+e*g)*a*d)/(-1+a*d+b*d),-e*h+((-f-e*g)*d)/(-1+a*d+b*d),-e*j+((-f-e*g)*c)/(-1+a*d+b*d)] 

solution = solve(sys, lst) 
print solution 

Mathematicaのバージョンは次のとおりです：

eqn = {(e - a*d*e - b*d*e + 2*b*d*f + 2*b*d*e*g)/(-1 + a*d + b*d) + f == 0, e*g + ((f + e*g)*a*d)/(-1 + a*d + b*d) == 0, -e*h + ((-f - e*g)*d)/(-1 + a*d + b*d) == 0, -e*j + ((-f - e*g)*c)/(-1 + a*d + b*d) == 0}; 
Simplify[Solve[eqn, {a, b, c, d, e, f, g, h, j}]] 

出力：場合

{{e -> 0, f -> 0}, 
{c -> (1 - 2 a d - 3 b d) j, f -> ((-1 + 2 a d + b d) e)/(-1 + 2 a d + 3 b d), g -> (a d)/(1 - 2 a d - 3 b d), h -> d/(1 - 2 a d - 3 b d)}, 
{a -> 0, c -> j - 3 b d j, f -> ((-1 + b d) e)/(-1 + 3 b d), g -> 0, h -> d/(1 - 3 b d)}, 
{a -> (1 - b d)/(2 d), c -> -2 b d j, f -> 0, g -> 1/4 - 1/(4 b d), h -> -(1/(2 b))}} 

Answer 1

この質問を閉じますが、ここではMathematicaの試みであるSymPyエラーにMWEの下にバージョン。しかし、現在のところ、変数を区間[0,1]に制限する条件が不足している。

Solve[{ 
    (e - a d e - b d e + 2 b d f + 2 b d e g)/(-1 + a d + b d) + f == 0, 
    e g + ((f + e g) a d)/(-1 + a d + b d) == 0, 
    -e h + ((-f - e g) d)/(-1 + a d + b d) == 0, 
    -e j + ((-f - e g) c)/(-1 + a d + b d) == 0 
    }, 
{a, b, c, d, e, f, g, h, j}] 

Answer 2

[OK]を、私はMathematicaのと同じ出力を与えると、自分自身がSAGEを使用して問題を解決することができました。

sage: a,b,c,d,e,f,g,h,j = var('a,b,c,d,e,f,g,h,j') 
sage: qe = [(e-a*d*e-b*d*e+2*b*d*f+2*b*d*e*g)+f*(-1+a*d+b*d),e*g*(-1+a*d+b*d)+((f+e*g)*a*d),-e*h*(-1+a*d+b*d)+((-f-e*g)*d),-e*j*(-1+a*d+b*d)+((-f-e*g)*c)] 
sage: print(solve(qe,a,b,c,d,e,f,g,h,j, solution_dict=True)) 

は、出力あなたが9つの変数と4次方程式を持って

[{g: r5, j: r7, b: r2, d: r4, e: 0, h: r6, c: r3, f: 0, a: r1}, 
{g: r12, j: r14, b: r8, d: r10, e: r11, h: r13, c: r9, f: -r11*r12, a: -(r10*r8 - 1)/r10}, 
{g: r15*r18, j: r19, b: -1/6*(4*r15*r16*r18 - r16 + 3*r17)*(4*r15*r16*r18^2/(4*r15*r16*r18 - r16 + 3*r17) + 2*r16*r18/(4*r15*r16*r18 - r16 + 3*r17) - r18)/(r16*r18^2), d: 2*r16*r18/(4*r15*r16*r18 - r16 + 3*r17), e: r16, h: r18, c: 2*r16*r19/(4*r15*r16*r18 - r16 + 3*r17), f: r17, a: r15}, 
{g: r20*r23, j: 0, b: -1/6*(4*r20*r21*r23 - r21 + 3*r22)*(4*r20*r21*r23^2/(4*r20*r21*r23 - r21 + 3*r22) + 2*r21*r23/(4*r20*r21*r23 - r21 + 3*r22) - r23)/(r21*r23^2), d: 2*r21*r23/(4*r20*r21*r23 - r21 + 3*r22), e: r21, h: r23, c: 0, f: r22, a: r20}, 
{g: -2*r24*r27 - 1, j: 0, b: r24, d: r25, e: r26, h: r27, c: 0, f: 2*r24*r26*r27 + r26, a: -(r24*r25 - 1)/r25}, 
{g: 0, j: r30, b: r29, d: 0, e: r31, h: 0, c: r30, f: r31, a: r28}, 
{g: 0, j: 0, b: r33, d: 0, e: r34, h: 0, c: 0, f: r34, a: r32}, 
{g: -1, j: 0, b: 0, d: r35, e: r36, h: r37, c: 0, f: r36, a: 1/r35}, 
{g: r40, j: 0, b: 0, d: r38, e: r39, h: 2*r38*r40 + r38, c: 0, f: r39, a: r40/(2*r38*r40 + r38)}, 
{g: -1/2, j: 0, b: -1/2*(r41 - r42)/(r41*r43), d: -2/3*r41*r43/(r41 - r42), e: r41, h: r43, c: 0, f: r42, a: -1/2/r43}] 

Answer 3

注意を与えます。したがって、あなたは4つの変数を取り除くことができます。あなたはSympyにそれを伝える必要があります。

次のコードは、最初の分母アウト及び排除a,b,c,dを乗算：

以下の出力を生成

import sympy as sy 
from IPython.display import display # for pretty printing 

# sy.init_printing() # LaTeX-like pretty printing for IPython 

a, b, c, d, e, f, g, h, j = sy.symbols("a, b, c, d, e, f, g, h, j", real=True) 
lst = a, b, c, d, e, f, g, h, j 
sys0 = sy.Matrix([(e-a*d*e-b*d*e+2*b*d*f+2*b*d*e*g)/(-1+a*d+b*d)+f, 
        e*g+((f+e*g)*a*d)/(-1+a*d+b*d), 
        -e*h+((-f-e*g)*d)/(-1+a*d+b*d), 
        -e*j+((-f-e*g)*c)/(-1+a*d+b*d)]) 

# Denominator can be factored out: 
den = a*d + b*d - 1 
sys1 = sy.simplify(sys0*den).expand() 
print("Factored out denominator:") 
display(sys1) 

# Elimnate four variables: 
sol1 = sy.solve(sys1, a, b, c, d, dict=True) 
print("Solutions:") 
display(sol1) 
print("Substituting back into the equation gives obviously 0, i.e.:") 
display(sy.simplify(sys1.subs(sol1[0])).T) 

print("The denominator != 0 results in:") 
den1 = sy.simplify(den.subs(sol1[0])) 
display(sy.solve(den1)) 

：

Factored out denominator: 
Matrix([ 
[-a*d*e + a*d*f + 2*b*d*e*g - b*d*e + 3*b*d*f + e - f], 
[     2*a*d*e*g + a*d*f + b*d*e*g - e*g], 
[    -a*d*e*h - b*d*e*h - d*e*g - d*f + e*h], 
[    -a*d*e*j - b*d*e*j - c*e*g - c*f + e*j]]) 
Solutions: 
[{d: 2*e*h/(4*e*g - e + 3*f), 
    c: 2*e*j/(4*e*g - e + 3*f), 
    a: g/h, 
    b: (-e + f)/(2*e*h)}] 
Substituting back into the equation gives obviously 0, i.e.: 
Matrix([[0, 0, 0, 0]]) 
The denominator != 0 results in: 
[{e: -f/g}] 

そこで得られたアイデンティティがある：

-f/g != e # denominator - only false, if f,e=0 since f,g,e>=0 
a = g/h 
b = (-e + f)/(2*e*h) 
c = 2*e*j/(4*e*g - e + 3*f) 
d = 2*e*h/(4*e*g - e + 3*f) 

私が知っている限り、Sympyはmultiv （私は間違っていると証明したいが）。しかし、結果は手で行うのに十分に簡単です：

0 <= g <= h 
0 <= f-e <= 2*e*h 
0 <= 2*e*j <= 4*e*g - e + 3*f 
0 <= 2*e*h <= 4*e*g - e + 3*f 
0 <= e,f,g,h,j <= 1 

場合f,e=0が同様に有効です。 sys0.subs(e,0).diff(f)がfに依存していないことを確認することで確認できます。