スプライン曲面補間

Question

だ私は今は、F（x、y）を近似できるようにするZ軸上

f(x1,y1) = 10 
f(x2,y2) = 12 
f(x3,y3) = 5 
f(x4,y4) = 2 
... 
f(xn,yn) = 21 

の表面を規定する点のn個を持っていると言います。私は線形、特にスプライン近似のアルゴリズムを探しています。アルゴリズムの例や少なくともいくつかのポインタは素晴らしいでしょう。

Answer 1

(xi, yi)がXY平面内の四角形をサンプリングする場合は、ベジェ（またはBspline）サーフェスのコントロールポイントとして使用できます。この点で、フィッティングは関係ありません。

あなたが得る表面は、あなたの点の凸包にあり、境界の点を交差（補間）します。{xi, yi}。

お試ししたい場合は、This forums postingはMatlabに単純なコードが含まれているようだ、と（それがプログラムのファイル形式を考え出す必要がありますが）あなたはMatlabを持っていない場合は、同じことを行うためにGuIRITを使用することができます。

Answer 2

これは、線形近似を行うアプローチのあいまいな説明です。

1. あなたのポイントのVoronoi diagram（平面内のすべてのポイントのために、最寄りの(x_i,y_i)を見つける。）
2. がDelaunay triangulationを得るために、この二重のを取る決定します。ポイントの線分がある場合(x_i,y_i)と(x_j,y_j)を接続(x_i,y_i)と(x_j,y_j)は等距離（他のどのペアよりも近く）です。
3. 各三角形について、3つの頂点を通る平面を見つけます。これは必要な線形補間です。

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以下は、Pythonの最初の2つのステップを実行します。あなたの グリッドの規則性は、物事をスピードアップさせるかもしれません（三角測量を台無しにするかもしれません）。

import itertools 

""" Based on http://stackoverflow.com/a/1165943/2336725 """ 
def is_ccw(tri): 
    return ((tri[1][0]-tri[0][0])*(tri[1][1]+tri[0][1]) 
      + (tri[2][0]-tri[1][0])*(tri[2][1]+tri[1][1]) 
      + (tri[0][0]-tri[2][0])*(tri[0][1]+tri[2][1])) < 0 

def circumcircle_contains_point(triangle,point): 
    import numpy as np 
    matrix = np.array([ [p[0],p[1],p[0]**2+p[1]**2,1] for p in triangle+point ]) 
    return is_ccw(triangle) == (np.linalg.det(matrix) > 0) 

triangulation = set() 
""" 
A triangle is in the Delaunay triangulation if and only if its circumscribing 
circle contains no other point. This implementation is O(n^4). Faster methods 
are at http://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation 
""" 
for triangle in itertools.combinations(points,3): 
    triangle_empty = True 
    for point in points: 
     if point in triangle: 
      next 
     if circumcircle_contains_point(triangle,point): 
      triangle_empty = False 
      break 
    if triangle_empty: 
     triangulation.add(triangle) 

Answer 3

不規則な2Dデータの補間はそれほど簡単ではありません。私は不規則な2Dへの真のスプラインの一般化を知らない。

三角測量ベースのアプローチに加えて、あなたはバーンズ（http://en.wikipedia.org/wiki/Barnes_interpolation）と逆距離加重（http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_distance_weighting）、またはより一般的に、RBF（http://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_functions）を見てすることができます。

ポイントが強く不均一に広がっている（密度の高いクラスター）場合は、関数のサイズを適応させるか、補間ではなく近似にする必要があります。