Javascript、Math：3Dにある平坦な2Dサーフェスの面積を計算する

Question

3D頂点の集合を仮定すると、任意の形状の2Dポリゴンの表面積を計算したいと考えています。たとえば、この図の表面積は何ですか？

var polygon = new Polygon([new Point(0,0,0), new Point(5,8,2), new Point(11,15,7)]) 
polygon.areaIfPolygonIs3D() 
--> some predictable result, no matter how many vertices the polygon has... 

ポリゴンのサーフェスは1つだけです。彼らはフラットですが、三角形や台形やランダムな形をしていて、3Dの角度で浮いている可能性があります。

私がこれまでにやったことは、物事をフラットにして、現在自分のコード（式：http://www.wikihow.com/Calculate-the-Area-of-a-Polygon）で作業している2Dの不規則なポリゴンの面積を計算するための基本式を使用することです。すべての頂点をどのように回転させてポリゴンを平坦にするか（すべての "z"の値は0）、私はそのパスを断念しましたが、誰かがそこに着くことができれば試してみることができます。

ポイントとエッジ（point.to（ポイント）で作成）、エッジには「theta」（edge.theta（））を使用できます。これはおそらくPoint.rotateByと 'phi'（edge.phi（））があります。

いずれにしても、高校から忘れてしまったすべてのジオメトリを再学習しようと一日の努力をして、誰かがここに行って助けてくれたら、それは大いに感謝しています。あなたのポリゴン面がZ軸に平行でない場合

var locatorRho = function(x,y,z) { 
    return Math.sqrt(x*x + y*y + z*z); 
} 

var locatorTheta = function(x,y) { 
    return Math.atan2(y,x); 
}; 

var locatorPhi = function(x,y,z) { 
    return z == 0 ? Math.PI_2 : Math.acos(z/locatorRho(x, y, z)); 
} 

// rotates a point according to another point ('locator'), and their 2D angle ('theta') and 3D angle ('phi') 
Point.prototype.rotateBy = function(locator, theta, phi) { 
    phi = (phi == undefined ? 0 : phi); 
    var relativeX = this.x() - locator.x(); 
    var relativeY = this.y() - locator.y(); 
    var relativeZ = this.z() - locator.z(); 
    var distance = locatorRho(relativeX, relativeY, relativeZ); 
    var newTheta = locatorTheta(relativeX, relativeY) + theta; 
    var newPhi = locatorPhi(relativeX, relativeY, relativeZ) + phi; 
    this._x = locatorX(distance, newTheta, newPhi) + locator.x(); 
    this._y = locatorY(distance, newTheta, newPhi) + locator.y(); 
    this._z = locatorZ(distance, newPhi) + locator.z(); 
} 

Polygon.prototype.signedArea = function() { 
    var vertices = this.vertices(); 
    var area = 0; 
    for(var i=0, j=1, length=vertices.length; i<length; ++i, j=(i+1)%length) { 
    area += vertices[i].x()*vertices[j].y() - vertices[j].x()*vertices[i].y(); 
    } 
    return 0.5*area 
} 

Polygon.prototype.areaIfPolygonIs2D = function() { 
    return Math.abs(rotatedFlatCopy.signedArea()) 
} 

Polygon.prototype.areaIfPolygonIs3D = function() { 
    ... help here I am so stuck ... 
} 

var vertices = [some number of Points, e.g., new Point(x,y,z)] 
var polygon = new Polygon(vertices) 
var polygon.areaIfPolygonIs3D() 
--> result 

Answer 1

は、Xを用いた公知の手法を用いて面積投影を計算することができ、Yは座標のみ、その平面

にZ軸と法線Nとの間の角度のコサインによって結果を割り

Area = Sum[x1*y2-x2*y1 +...] ////shoelace formula 
True_Area = Area/Cos(Angle between N and Z axis)) = 
       Area/DotProduct((N.x,N.y,N.z), (0,0,1)) = 
       Area/N.z 
       //// if N is normalized (unit) 

Answer 2

は、2D頂点(X, Y)、(Y, Z)と(Z, X)に、座標法を3回使用します。所望の領域は、√Axy²+Ayz²+Azx²で与えられます（ポリゴンがフラットである場合）。