ポイントの面積を計算する

Question

私はGoogleで良い答えを見つけることができませんでした、またはおそらく私はちょうど正しいキーワードを紛失しています。どのような助けや協力も大歓迎です！

私の問題は次のとおりです。 特定のポイントクラウドが（2Dで）カバーする領域を計算したいと思います。私は数学的には面積が0であることを知っていますが、私は正しい分布からサンプルポイントを取ることしかできません。さらに、私は点群の境界についての情報を持っていません。あらゆる形状が可能です（穴なども可能です）ので、マニフォールドの境界を使用するアルゴリズムは機能しません。

私が扱っている機能はスムーズですので、ポイント間のスペースも計算したいエリアに属していると推測できます。

現時点では、スペースを多数の小さなボックスに分割し、1つ以上のポイントがいくつのボックスに設定されているかを数えます。箱の大きさに掛けられた数は私に面積を与えます。

もっと洗練されたソリューションがありますか？何か案は？

おかげ トーマス

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編集：私は、低次元の埋め込みに高次元の点を投影しているん何

。私は高次元空間における点の数を決定することができ、したがって、計算したい領域を形成する低次元空間における点の数も決定することができる。私がポイントの数を増やすと、それらが「古い」ポイントの間に配置されていることが判明します。つまり、スムーズに意味します。特定の点を考えてみると、その点を中心とした近接点では、より高密度のサンプルを採取すれば、その領域に属する新しい点を見つけることができると仮定できます。

また、私は2つの点を「等しい」とみなすことができる閾値を持っています。つまり、達成したいと思っている解決策を知っています。

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EDIT 2：

私は低次元空間に高次元空間からのマッピングを行うためにGPLVMのを使用します。だから私はそれを直接分析するのは難しい/不可能だと思う。彼らは非常に直感的ではないと私はその場合、2次元のポイントで直接作業する方が簡単だと思います...

Answer 1

1つのオプションは、点集合の凸包、すなわち凸多角形あなたのすべてのポイントが含まれています。ポリゴンがあれば、その領域をカバーすることができます。

もちろん、基本的なディストリビューションにも穴がある場合は処理できません。この場合、あなたのボックス敷設のバリエーションよりも優れたソリューションは考えられません。

Answer 2

ここで地域の意味をいくつか定義する必要があります。 すべてポイント間のスペースが埋まっている場合は、境界ポイントをサンプリングしてポリゴンの面積を計算します。ただし、完全分布をサンプリングして、位置が塗りつぶし領域か空領域かを判断できる場合は、アプローチが理にかなっています。

基本的な分布がどのように滑らかに変化するかはわかりません。ポイントが満たされているかどうかはわかりません。しかし、各位置に密度が変化する密度分布をサンプリングする場合、面積積分またはの直交値を実際に実行しています。そのために、分析関数を使用して基礎分布を近似する方法が多数あります。

基本的な分布が連続的ではなく（滑らかに変化する）、離散的であれば、フラクタルの面積を効果的に見つけることができます。そのためには、値が変化しなくなるまで、細かいグリッドのためにメソッドを使って領域を数回評価する必要があります。フラクタルの場合、値は変わることはありませんが、有限のデータセットの場合、最終的には停止します。

Answer 3

単純な統計的アプローチがあります（Tuomi and Larjavaara、QJR Meteorol。Soc。（2005）131、p。1191、付録を参照）。適度に規則的な点集合（雷雲の下での落雷など）の代表的な領域は、A = 12 Sx Sy sqrt（1 - R2）です。標準偏差SxおよびSy（時定数）は矩形を定義し、相関係数（Rは相関係数）は、矩形のどの部分がポイントによって効果的に覆われているかを示します。この結果は高い数学ではなく、実際には細胞の雷放電密度を推定するためにはうまくいきます。 - Tuomi