Pythonの二次微分 - scipy/numpy/pandas

Question

私は2つのnumpyのデータ配列を持つpythonで二次微分をとろうとしています。例えば

、問題の配列は次のようになります。

import numpy as np 

x = np.array([ 120. , 121.5, 122. , 122.5, 123. , 123.5, 124. , 124.5, 
     125. , 125.5, 126. , 126.5, 127. , 127.5, 128. , 128.5, 
     129. , 129.5, 130. , 130.5, 131. , 131.5, 132. , 132.5, 
     133. , 133.5, 134. , 134.5, 135. , 135.5, 136. , 136.5, 
     137. , 137.5, 138. , 138.5, 139. , 139.5, 140. , 140.5, 
     141. , 141.5, 142. , 142.5, 143. , 143.5, 144. , 144.5, 
     145. , 145.5, 146. , 146.5, 147. ]) 

y = np.array([ 1.25750000e+01, 1.10750000e+01, 1.05750000e+01, 
     1.00750000e+01, 9.57500000e+00, 9.07500000e+00, 
     8.57500000e+00, 8.07500000e+00, 7.57500000e+00, 
     7.07500000e+00, 6.57500000e+00, 6.07500000e+00, 
     5.57500000e+00, 5.07500000e+00, 4.57500000e+00, 
     4.07500000e+00, 3.57500000e+00, 3.07500000e+00, 
     2.60500000e+00, 2.14500000e+00, 1.71000000e+00, 
     1.30500000e+00, 9.55000000e-01, 6.65000000e-01, 
     4.35000000e-01, 2.70000000e-01, 1.55000000e-01, 
     9.00000000e-02, 5.00000000e-02, 2.50000000e-02, 
     1.50000000e-02, 1.00000000e-02, 1.00000000e-02, 
     1.00000000e-02, 1.00000000e-02, 1.00000000e-02, 
     1.00000000e-02, 1.00000000e-02, 5.00000000e-03, 
     5.00000000e-03, 5.00000000e-03, 5.00000000e-03, 
     5.00000000e-03, 5.00000000e-03, 5.00000000e-03, 
     5.00000000e-03, 5.00000000e-03, 5.00000000e-03, 
     5.00000000e-03, 5.00000000e-03, 5.00000000e-03, 
     5.00000000e-03, 5.00000000e-03]) 

私は現在、その後f(x) = yを持っている、と私はd^2 y/dx^2をしたいです。

数値的に言えば、私は関数を補間して解析的に微分するか、を使用することができます。

私はnp.interp()とscipy.interpolateを見てきましたが、これは私に適合した（線形または立方体の）ものを返すので、どちらかを使用するのに十分なデータがあると思います。 ）スプラインを使用していますが、その時点でどのように微係数を得るか分かりません。

ご指摘いただきありがとうございます。

Answer 1

scipyの1-D Splines関数を使用してデータを補間できます。計算されたスプラインは、導関数を計算するための便利な方法を持っています。 UnivariateSplineを使用してあなたの例のデータについては

は、次のようにフィット

import matplotlib.pyplot as plt 
from scipy.interpolate import UnivariateSpline 

y_spl = UnivariateSpline(x,y,s=0,k=4) 

plt.semilogy(x,y,'ro',label = 'data') 
x_range = np.linspace(x[0],x[-1],1000) 
plt.semilogy(x_range,y_spl(x_range)) 

フィットは、少なくとも視覚的、合理的に良いようです提供します。 UnivariateSplineが使用するパラメータを試してみるとよいでしょう。

スプラインフィットの第二導関数は、単純に（場合、データは、いくつかの物理的プロセスに相当）結果は幾分不自然な表示

y_spl_2d = y_spl.derivative(n=2) 

plt.plot(x_range,y_spl_2d(x_range)) 

として得ることができます。スプラインフィットのパラメータを変更したり、データを改善したり（サンプル数を増やしたり、ノイズの少ない測定を行うなど）、データをモデリングしてカーブフィットを実行する解析関数を決定することができます（例えば、sicpyのcurve_fitを使用）

有限差分、それぞれに対するYの1次導関数により

Answer 2

はあなたのアレイ上のxの平均値で与えられる。

dy=np.diff(y,1) 
dx=np.diff(x,1) 
yfirst=dy/dx 

およびXの対応する値は、次のとおりについて

xfirst=0.5*(x[:-1]+x[1:]) 

二次再び電子同じプロセス：

dyfirst=np.diff(yfirst,1) 
dxfirst=np.diff(xfirst,1) 
ysecond=dyfirst/dxfirst 

xsecond=0.5*(xfirst[:-1]+xfirst[1:])