線形方程式の過小決定システムで「部分」解を見つけるにはどうすればよいですか？

Question

私はこの行列を持っているとしましょう：

1 1 | 1
0 0 1 | 1

このシステムには明らかに無限の解があります。

X1 = -x2
×3 = 1つの

x1はx2のとx2に依存している無料ですが、私はに興味があることはX3です。 x1、x2、x3の[NaN、NaN、1]のような解を見つけるアルゴリズムはありますか？

ガウス消去アルゴリズムのバリエーションを使用することができますが、実際にどのように行うのかはわかりません。

Answer 1

システムには少なくとも1つの解決策があると仮定します（標準ガウス消去を使用して確認できます）。

補題：変数の値は、縮小行エシェロン形式の行の唯一の変数である場合に限り固定されます。

証明： 行内の唯一の変数であれば、均質システムの任意の解に対してゼロでなければなりません。したがって、元のシステムでは定数です。

行内の唯一の変数でない場合、その値は固定されていません。実際、行の他の変数は自由であるため、任意に値を選択することができます。この自由変数の2つの異なる選択肢は、ピボット変数の2つの異なる値を与える。

だから、最終的な解決策は、次のようになります。ガウスの消去を使用して、マトリックスの減少行階段形をゲット

1. 。

2. 少なくとも1つの解決策があるかどうかを確認してください。何かを返さない場合。

3. 変数の値を含むベクトルが行内の唯一の変数である場合はそれを返し、それ以外の場合はNanを返します。あなたのケースでは

、減少階段型は次のとおりです。

1 1 0 0 
0 0 1 1 

最後の変数は第二の可変1.ユニークな値は無料ですしています。最初の変数はその行の唯一の変数ではありません。したがって、結果は[Nan, Nan, 3]です。