numpy.fft.fftはどのように機能しますか？

Question

現在、numpyからfft関数を理解しようとしています。そのために私は次の前提をテストしました：
私はf(x) = x^2とg(x) = f'(x) = 2*xという2つの関数を持っています。フーリエ変換の法則とwolfram alphaによれば、それはG(w) = 2pi*i*F(w)であるべきです（prefactorsは変わることができますが、一定の因子だけがあるべきです）。 Pythonで、私は

import numpy as np 
def x2(x): 
    return x*x 
def nx(x): 
    return 2*x 

a = np.linspace(-3, 3, 16) 
a1 = x2(a) 
a2 = nx(a) 

b1 = np.fft.fft(a1) 
b2 = np.fft.fft(a2) 

c = b1/b2 

を書くことを実装する際に今私はcのためのほぼ一定の値を期待していますが、私のミスで、私はFFTを使用するために何ができるのはどこ

array([ 1.02081592e+16+0.j  , 1.32769987e-16-1.0054679j , 
     4.90653893e-17-0.48284271j, -1.28214041e-16-0.29932115j, 
     -1.21430643e-16-0.2j  , 5.63664751e-16-0.13363573j, 
     -5.92271642e-17-0.08284271j, -4.21346622e-16-0.03978247j, 
     -5.55111512e-16-0.j  , -5.04781597e-16+0.03978247j, 
     -6.29288619e-17+0.08284271j, 8.39500693e-16+0.13363573j, 
     -1.21430643e-16+0.2j  , -0.00000000e+00+0.29932115j, 
     -0.00000000e+00+0.48284271j, 1.32769987e-16+1.0054679j ]) 

を取得します思惑通り？

Answer 1

あなたが与えるプロパティはContinuous Fourier transform（CFT）に適用されます。 FFTによって計算されるのは、Discrete Fourier transform（DFT）です。これはCFTに関連していますが、正確には同等ではありません。

DFTは特定の条件、すなわちサンプル限界外でゼロの関数を十分にサンプリングすることでCFTに比例することは事実です（例：this bookを参照）。

DFTはCFTに比例せず、数値結果にも反映されます。ここで間違った部分がG（W）= 2 'である

import numpy as np 

def f(x): 
    return np.exp(-x ** 2) 
def fprime(x): 
    return -2 * x * f(x) 

a = np.linspace(-10, 10, 100) 
a1 = f(a) 
a2 = fprime(a) 

b1 = np.fft.fft(a1) 
b2 = np.fft.fft(a2) 
omega = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(len(a), a[1] - a[0]) 

np.allclose(b1 * 1j * omega, b2) 
# True