命題論理アイデンティティ

Question

↔≡∨→（∧）

これまでのところ、私はこの...

↔≡（Pー→Q）の∧（Qー→P）法をやったことを示している方法代数式
（p→q）∧（q→p）∧（p→q）∧（q→p）条件付き命題の法則
（〜p V q）∧ q）∧（〜q V p）法則の法則

Answer 1

同一性法則：

自然演繹することで

 
p ↔ q         Given 
(p → q) & (q → p)      ↔ Elimination 
(~p ∨ q) & (~q ∨ p)     Material implication 
((~p ∨ q) & ~q) ∨ (((~p ∨ q) & p)) Distributive 
~p & ~q ∨ q & ~q ∨ ~p & p ∨ q & p  Distributive 
~p & ~q ∨ F ∨ F ∨ q & p    Complement 
~p & ~q ∨ q & p      Identity 
~(p ∨ q) ∨ p & q      De Morgan's law 
(p ∨ q) → (p & q)      Material implication 

：

自然演繹によって身元を証明するために、あなたは両方の方向にあなたの証明を実施する必要があります。それはあなたがその両方を証明する必要があり、次のとおりです。

• のp↔のQ伴い（P∨Q）→（P & Q）、および
• （P∨Q）→（P & q）は、Pを伴う↔

   
  {1} 1. (p ∨ q) → (p & q)    Prem. 
  {2} 2. p        Assum. 
  {2} 3. p ∨ q       2 ∨I 
  {1,2} 4. p & q       1,3 MP 
  {1,2} 5. q        4 &E 
  {1} 6. p → q       2,5 CP 
  {7} 7. q        Assum. 
  {7} 8. p ∨ q       7 ∨I 
  {1,7} 9. p & q       1,8 MP 
  {1,7} 10. p        9 &E 
  {1} 11. q → p       7,10 CP 
  {1} 12. (p → q) & (q → p)    6,12 &I 
  {1} 13. p ↔ q       12 ↔I 
  

  ：Q

 
{1} 1. p ↔ q       Prem. 
{1} 2. (p → q) & (q → p)    1 ↔E 
{1} 3. p → q       2 &E 
{1} 4. q → p       2 &E 
{5} 5. p ∨ q       Assum. 
{6} 6. p        Assum. (1st Disj.) 
{1,6} 7. q        3,6 MP 
{1,6} 8. p & q       6,7 &I (1st Conc.) 
{9} 9. q        Assum. (2nd Disj.) 
{1,9} 10. p        4,9 MP 
{1,9} 11. p & q       9,10 &I (2nd Conc.) 
{1,5} 12. p & q       5,6,8,9,11 ∨E 
{1} 14. (p ∨ q) → (p & q)    5,12 CP 

はここで逆方向に証拠ですの略語：

• & I =論理積の導入
• & E =接続詞排除
• ∨I=論理和導入
• ∨E=論理和の消去
• ↔I=ダブル矢印導入
• ↔E=二重矢印削除
• MP = Mod私たちは、それがプログラミングやコーディングについて直接ロジックについてですと[math.se]の代わりに、ので、私は、オフトピックとして、この質問を閉じるために投票しています
• CP =条件付き証明（→導入）