微分可能な直交ベクトル

Question

3Dベクトルu = (x, y, z)をuに直交する別のベクトルに変換する単純で微分可能な関数を知っている人はいませんか？ uがゼロの場合にのみ、私はベクトルu = (x, y, z)がv = (f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z))とvに直交することを{f, g, h}な3微分可能な機能を探しています、より正確に

はゼロです。

ファンクション{f, g, h}はできるだけ単純にする必要があります。私はそれらを線形にすることを好むが、私はそのような線形関数は存在しないと考える。低次多項式も良いです。

P.S.私はそのような関数を見つけましたが、それらは多項式ではありません。例えば：

f(x, y, z) = y*(exp(x) + 3) - z*(exp(x) + 2) 
g(x, y, z) = z*(exp(x) + 1) - x*(exp(x) + 3) 
h(x, y, z) = x*(exp(x) + 2) - y*(exp(x) + 1) 

単にと（x、y、z）の外積'S（EXP（X）+1、EXP（X）+2、EXP（X）+3）。多項式以外のすべての要件を満たします。しかし、彼らは非常に簡単です。

Answer 1

このような連続機能は存在しません。球の上に定義された連続した決して消えていない正接フィールドがないことを意味する"hairy ball"定理の結果です（F(v)が非ゼロで連続的で、常に直交する場合はvに、次にv-F(v)は連続球の上で決して消滅しない正接場）。

一方、機能が連続している必要がない場合、問題は簡単です。私が通常行っていることは、Y成分とZ成分の間で絶対値が大きいものを選択し、Y成分が大きい場合はの場合には、vと(0, 1, 0)の間の外積を計算することです。これは特異性を回避する。

Answer 2

v = (y - z, z - x, x - y)

これは、非ゼロuのために非ゼロであることを除いて、すべてのあなたの条件に一致するように思われます。たとえば、u = (1, 1, 1)はそれを吹き飛ばします。私は、線形解がないとあなたが正しいかもしれないと思う。