boost :: math :: erfのアルゴリズム

Question

ブーストのerf-functionのアルゴリズムの詳細はありますか？モジュールのドキュメントはあまり正確ではありません。私が知る限り、いくつかの方法が混在しています。私にとっては、AbramowitzとStegunのバリエーションのように見えます。

• どのメソッドが混在していますか？
• メソッドはどのように混在していますか？
• erf-function（定数時間）の複雑さは何ですか？ Boost Math Toolkitため

セバスチャン

Answer 1

ドキュメントはアブラモウィッツとStegunの間referencesの長いリストを持っています。 erf-functionインターフェイスには、数値精度（したがって実行時の複雑さ）を制御するために使用できるpolicyテンプレートパラメータが含まれています。

#include <boost/math/special_functions/erf.hpp> 
namespace boost{ namespace math{ 

template <class T> 
calculated-result-type erf(T z); 

template <class T, class Policy> 
calculated-result-type erf(T z, const Policy&); 

template <class T> 
calculated-result-type erfc(T z); 

template <class T, class Policy> 
calculated-result-type erfc(T z, const Policy&); 

}} // namespaces 

UPDATE：ERF-機能を早く提供される基準のセクション "実装" の逐語的なコピーの下

：

実装

のすべてのバージョンこれらの関数は、最初に通常の反射式を使用して引数を正にします。

erf(-z) = 1 - erf(z); 

erfc(-z) = 2 - erfc(z); // preferred when -z < -0.5 

erfc(-z) = 1 + erf(z); // preferred when -0.5 <= -z < 0 

これらの関数の汎用バージョンは、不完全なガンマ関数によって実装されています。

（仮数）のサイズが認識されると（現在、53,64,113ビットの実数、および倍精度24ビットを2倍に昇格することによって処理される）、JMによって考案された一連の有理近似が使用されます。

erf(z) = z * (C + R(z*z)); 

有理数近似R（Z *：ERFは奇関数であり、したがってERFを使用して計算されるという観察に基づいて、Z < = 0.5について

次いでERFに合理的な近似を使用します、 z）は、絶対誤差に対して最適化されています。絶対誤差が定数Cに比べて十分小さい限り、R（z * z）の計算中に発生する丸め誤差は、結果から効果的に消えます。その結果、この領域のerfとerfcのエラーは非常に低くなります。非常に少数のケースで最後のビットが正しくありません。

は、z> 0.5の場合、我々は観察し、その小区間[a、b）は、次いで上：ある定数cについて

erfc(z) * exp(z*z) * z ~ c 

。

したがってためのZ>我々が使用ERFC計算0.5：

erfc(z) = exp(-z*z) * (C + R(z - B))/z; 

再度R（Z - B）の絶対誤差のために最適化され、定数CはERFC（Z）* EXPの平均である（Z * z）* zは、範囲の終点で取られます。再び、R（z-B）の絶対誤差がcに比べて小さい限り、c + R（z-B）は正しく丸められ、結果の誤差はexpの精度のみに依存する関数。実際には、非常に少数の場合を除いて、エラーは結果の最後のビットに限定されます。

erfc(z) = exp(-z*z) * (C + R(1/z))/z; 

：合理的な近似の範囲の左端に[+∞]上記近似に修正される範囲を超える大きなZについて0

なるように定数Bが選択されます

有理近似はexcruciating detailで説明されています。詳細が必要な場合は、いつでもsource codeをご覧ください。