Sci Py方程式系に対する非負の根の集合を見つける

Question

私は非線形方程式系を持っています。私は初期値についての良い推測を持っていません。そして、私は、少なくとも1組のすべてのポジティブなルーツが経済学の原因となりたがっているので、これらの変数への負の値はあまり意味がありません。

# -*- coding: utf-8 -*- 
""" 
Created on Sat Oct 15 21:48:56 2016 

@author: Nick 
""" 

import scipy as sp 
from scipy.optimize import root, fsolve 
import numpy as np 

#from scipy.optimize import * 



el   = 1.1 
eg   = el 
ej   = 10 
om   = 0.3 
omg   = 0.3 
rhog  = 0.8 
xi   = 0.9 
mun   = 2 
pidss  = 0.02 
muc   = 0.001 
ec   = 2.00 # sims obtains 2.47 
beta  = 0.998 
h   = 0.8 
kappa  = 4.00 
n   = 1/3.0 
alpha  = 1/3.0 
delta  = 0.025 
egs   = eg 
oms   = 0.2 
omgs  = oms 
rhom  = 0.7 
psiygap  = 1.000 
psipi  = 2.500 
rhoicu  = 0.800 
taudss  = 0.01 # steady state tax on domestic consumption (setting it as 0 would create algebraic difficulties) 
taumss  = 0.01 # steady state tax on imported consumption for domestic country 
taukss  = 0.01 # steady state tax on rental income from capital for domestic country block 
taunss  = 0.01 # steady state tax on labor for domestic country 
tauydss  = 0.05  
gss   = 0.23 # steady state government spending as a propostion of gdp for domestic country block  
gsss  = 0.23 # steady state government spending as a propostion of gdp for foreign country block  

taudsss  = 0.01  

taumsss  = 0.01  

tauksss  = 0.01  

taunsss  = 0.01  

tauydsss = 0.01   # steady state tax rate on output for foreign country block 
    tauss  = 1.0    # Steady state terms of trade 

icu = ((1+pidss)/beta) - 1 
mc = ((ej - 1)/ej) 
r = (1/taukss) * ((1/beta) - (1-delta)) 
rs = (1-tauksss) * ((1/beta) - (1-delta)) 
KN = (mc*alpha/r)**(1/(1-alpha)) 
KNs = (mc*alpha/rs)**(1/(1-alpha)) 
psigma = (1-xi) * (1/(1-tauydss) - xi)**(-1) 
psigmas = (1-xi) * (1/(1-tauydsss) - xi)**(-1) 
w =  (1-alpha) * mc * (KN)**(alpha) 

z = np.zeros(16) 

def fun(z): 
    Yd = z[0] 
    N = z[1] 
    X = z[2] 
    I = z[3] 
    Cd = z[4] 
    Cm = z[5] 
    Gd = z[6] 
    Gm = z[7] 
    Yds = z[8] 
    Ns = z[9] 
    Xs = z[10] 
    Is = z[11] 
    Cds = z[12] 
    Cms = z[13] 
    Gds = z[14] 
    Gms = z[15] 
    print (z) 
    f = np.zeros(16) 
    f[0] = N - ((X - muc)**(-ec) * ((1-alpha)/(mun)) * (mc)**(1/(1-alpha)) * (alpha/r)** (1-taunss)) 
    f[1] = Yd - (Cd + Gd + I + ((1-n)/n) *(Cms + Gms)  ) 
    f[2] = Yd - ((KN)**(alpha) * (psigma/(1-tauydss)**(ej))) 
    f[3] = Cd - (X * ((1-om)/(1+taudss)**(el)) *((1-om)*(1+taudss)**(1-el) + om * (1+taumss)**(1-el) * tauss**(1-el))**(el/(1-el)) ) 
    f[4] = Gd - (((gss*Yd * (1-omg))/(1+taudss)**(eg)) *((1-omg)*(1+taudss)**(1-eg) + omg* (1+taumss)**(1-eg) * tauss**(1-eg))**(eg/(1-eg))) 
    f[5] = I - (delta* KN * N) 
    f[6] = Cm -((X * (1-om)/(1+tauydss)**(el)) *((1-om)*(1+taudss)**(1-el) + om* (1+taumss)**(1-el) * tauss**(1-el))**(el/(1-el)) ) 
    f[7] = Gm - (((gss*Yd * (omg))/(1+taumss)**(eg)) *((1-omg)*(1+taudss)**(1-eg) + omg* (1+taumss)**(1-eg) * tauss**(1-eg))**(eg/(1-eg))) 
    f[8] = Ns - ((Xs - muc)**(-ec) * ((1-alpha)/(mun)) * (mc)**(1/(1-alpha)) * (alpha/rs)** (1-taunsss)) 
    f[9] = Yds - (Cds + Gds + Is + (n/(1-n)) *(Cm + Gm)  ) 
    f[10] = Yds - ((KNs)**(alpha) * (psigmas/(1-tauydsss)**(ej))) 
    f[11] = Cds - (Xs * ((1-oms)/(1+taudsss)**(el))* ((1-oms)*(1+taudsss)**(1-el) + oms* (1+taumsss)**(1-el) * tauss**(1-el))**(el/(1-el)) ) 
    f[12] = Gds - (((gsss*Yds * (1-omgs))/(1+taudsss)**(eg)) *((1-omgs)*(1+taudsss)**(1-eg) + omgs* (1+taumsss)**(1-eg) * tauss**(1-eg))**(eg/(1-eg))) 
    f[13] = Is - (delta* KNs * Ns) 
    f[14] = Cms -((Xs * (1-oms)/(1+tauydsss)**(el)) *((1-oms)*(1+taudsss)**(1-el) + oms* (1+taumsss)**(1-el) * tauss**(1-el))**(el/(1-el)) ) 
    f[15] = Gms - (((gsss*Yds * (omgs))/(1+taumsss)**(eg)) *((1-omgs)*(1+taudsss)**(1-eg) + omgs* (1+taumsss)**(1-eg) * tauss**(1-eg))**(eg/(1-eg))) 
    return f 



z = sp.optimize.root(fun, [100,100,70,30,50,20,50,20,100,100,100,100,100,100,100,100], method='lm') 
#z = fsolve(fun, [0,0,0.0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1])  
print(z) 

溶液は、ルートの初期推定値が与えられると、次の根

success: True 
     x: array([ 3.64725445e-01, 1.02848541e-06, -1.86761721e+02, 
     9.52089296e-10, -1.30733205e+02, -1.25265418e+02, 
     5.87207967e-02, 2.51660557e-02, 3.36422990e+00, 
     5.18324506e-04, 8.17060628e+01, 4.87111630e-04, 
     6.53648502e+01, 6.53648502e+01, 6.19018302e-01, 
     1.54754576e-01]) 

Answer 1

あり、それがルートを見つけるまで、数値根検出アルゴリズムは、変数空間内の特定の方向に沿って移動します。明らかに、このアプローチでは、返されたルートが一定の間隔内に限定されている必要はありません。最初の見積もりがどのくらい良いか（およびアルゴリズムで使用される検索方法）によって異なります。限定された根を返すことができるもう1つのアプローチは、最適化問題に制約を与えることは有意義であるので、最適化（例えば、最小化）問題として根発見問題を提起することである。しかし、元の関数のルートで最小値を持つ適切な目的関数を提供する必要があります（このような関数には多くのオプションがあり、通常は選択はヒューリスティックです）。

このような関数の1つは、平方和の和であるf[0]**2 + f[1]**2 + ... + f[15]**2です。明らかに、この関数の最小値はゼロであり、これは和の個々の項のそれぞれがゼロであるとき、すなわち根であるときに達成される。この最小化を実行するためにScipyのleast_squaresを使用することもできます。これにより、最適化変数の範囲を指定することもできます。変数の任意際限なく

とrootと同じ解を返すleast_squares同じ初期ルート推定、使用：

from scipy.optimize import least_squares 

z_ls = least_squares(fun, [100,100,70,30,50,20,50,20,100,100,100,100,100,100,100,100]) 
print(z_ls.x) 
print(z_ls.cost) 

[ 3.6473e-01 1.0285e-06 -1.8676e+02 9.5209e-10 -1.3073e+02 
    -1.2527e+02 5.8721e-02 2.5166e-02 3.3642e+00 5.1832e-04 
    8.1706e+01 4.8711e-04 6.5365e+01 6.5365e+01 6.1902e-01 
    1.5475e-01] 
4.16527754459e-26 

を（z_ls.cost和オブであることに注意してくださいこの点で評価される正方形（数値精度内でゼロ）。）

ここでは、least_squaresは非陰性であることが推定値を制約：

z_ls = least_squares(fun, [100,100,70,30,50,20,50,20,100,100,100,100,100,100,100,100],bounds = (0,np.inf)) 
print(z_ls.x) 
print(z_ls.cost) 

[ 5.9581e-01 2.1229e+01 4.2108e-02 1.1820e-37 2.0493e-33 
    1.1914e-33 5.8857e-37 9.3812e-37 3.4508e+00 2.5054e+00 
    1.1516e+00 2.2395e+00 8.0630e-01 4.2258e-01 5.1994e-01 
    1.3867e-37] 
0.237262813475 

返さ推定値は確かに非負の要素を持っています。しかし、z_ls.costは（かなり）ゼロより大きく、この解決策がではなく、のルートであることを示します。これは、2つのうちの1つを意味します。

• 最初のポイントは、負でないルートにつなげるには十分ではありません。
• この問題では、負ではないルートは存在しません。

あなたが上記のいずれかの洞察力を持っていない場合は、あなたが行うことができる唯一のことは、異なる初期値を試してみて、目的のルートが（直接的に上記のようrootまたは最小化製剤によって）返されることを願っています。