Lapack dgeevは固有ベクトルを非直交に縮退する

Question

私は固有値と固有ベクトルを広範囲に利用するプログラムを作っています。プログラムをテストしているとき、同じ固有値を持つ2つの固有ベクトルがまったく直交していない場合がありました。縮退した固有ベクトルの場合、その解は一意ではなく、解決ルーチンは特定のベクトルを生成することが保証されていません。縮退した固有ベクトルの線形結合は依然として同じ固有値を持つ固有ベクトルです。しかし、私はそれらの2つが直交することを期待しました。

これはバグですか？ dgeevによって生成されるすべての固有ベクトルは直交であるべきですか？直交ベクトルを常に印刷するルーチンがありますか？

#include <stdio.h> 

void ctofortran(double *matrix,double *fortranMatrix,int numberOfRows,int numberOfColumns) 
{ 
/******************************************************************/ 
/* This function converts a row-major C matrix into a column-major*/ 
/* fortran "array".            */ 
/******************************************************************/ 
int columnNumber,rowNumber; 
for (columnNumber = 0;columnNumber<numberOfColumns ;columnNumber++) 
{ 
    for (rowNumber = 0;rowNumber<numberOfRows ;rowNumber++) 
    { 
     fortranMatrix[rowNumber+numberOfRows*columnNumber] = *(matrix + columnNumber+numberOfColumns*rowNumber); 
    } 
} 
} 


int main(int argc, char **argv) 
{ 
double matrix[] = {4, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 
        -1, 4, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 
        0, -1, 4, 0, -1, 0, 0, 0, 
        -1, 0, 0, 4, 0, -1, 0, 0, 
        0, 0, -1, 0, 4, 0, 0, -1,  
        0, 0, 0, -1, 0, 4, -1, 0, 
        0, 0, 0, 0, 0, -1, 4, -1,  
        0, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 4 }; 
int rows = 8, columns = 8; 
double *fortranmatrix = malloc(rows*columns*sizeof(double)); 
ctofortran(matrix,fortranmatrix,rows,columns); 



char jobvl ='v'; 
char jobvr = 'n'; 
//This symbolizes that the left eigenvectors will be found 
double *realEigenValues,*imaginaryEigenValues; 
realEigenValues = malloc(rows*sizeof(double)); 
imaginaryEigenValues = malloc(rows*sizeof(double)); 
double *leftEigenVectors = malloc(rows*columns*sizeof(double)); 
int lwork = rows * 4; 
double *work = malloc(lwork*sizeof(double)); 
//This allocates workspace to be used by dgeev. The recomended space is 4 times the dimension 
int info = 0;//After dgeev info = 0 if the calculation went correctly 


dgeev_(&jobvl,&jobvr,&rows,fortranmatrix,&rows,realEigenValues,imaginaryEigenValues,leftEigenVectors,&rows,NULL,&rows,work,&lwork,&info); 

int index; 
for(index = 0;index<rows;index++) 
printf("Eigenvalue %d %g + %g * i\n",index,*(realEigenValues+index), *(imaginaryEigenValues+index)); 

int v1 = 1, v6 = 6; 
double sum = 0; 
printf("\nv1\tv6\n"); 
for(index = 0;index<rows;index++) 
{ 
printf("%g\t%g\n",*(leftEigenVectors+v1*rows+index),*(leftEigenVectors+v6*rows+index)); 
sum += *(leftEigenVectors+v1*rows+index) * *(leftEigenVectors+v6*rows+index); 
} 
printf("\n Dot product between v1 and v6 %g\n",sum); 

return 0; 

} 

そして、ここで出力されます：ここで

はCでテストケースである

Eigenvalue 0 2 + 0 * i 
Eigenvalue 1 2.58579 + 0 * i 
Eigenvalue 2 4 + 0 * i 
Eigenvalue 3 6 + 0 * i 
Eigenvalue 4 5.41421 + 0 * i 
Eigenvalue 5 5.41421 + 0 * i 
Eigenvalue 6 2.58579 + 0 * i 
Eigenvalue 7 4 + 0 * i 

v1   v6 
-0.499878 0 
-0.345657 0.353553 
0.0110458 0.5 
-0.361278 -0.353553 
0.361278 0.353553 
-0.0110458 -0.5 
0.345657 -0.353553 
0.499878 -9.88042e-16 

Dot product between v1 and v6 0.0220917 

V6は私に多くの "普通" になります。

*この行列は対称ですが、必ずしもそうではありません。

Answer 1

このように、%lfで印刷してみてください：

printf("\n Dot product between v1 and v6 %lf\n",sum); 

ここで説明するように：Scanf/Printf double variable C

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それが解決しない場合は、その後、私は以来、（これは浮動小数点の問題です推測していますそれらの内積は小さい）。