幾何級数の和に対するΘ表記

Question

幾何級数に関する質問があります。なぜ

1 + C + C + ... + C ^N =Θ

C> 1（ N ^{c）は？私はc = 1の場合はΘ（n）、c <の場合はΘ（1）であることを理解していますが、c> 1の場合はなぜΘ（c n）なのか分かりません。}

ありがとうございます！

C + C + ... + C ^N-1

がによって与えられる等比級数の最初のn項の

Answer 1

和数量

（c ⁿ - 1）/（C - 1）

なおC> 1は、この量は、C ^Nによって上方から制限される場合 - 1/C - C ^N-1によって1および以下から。したがって、O（c ⁿ）とΩ（c ⁿ）ですので、Θ（c ⁿ）です。

希望すると便利です。

Answer 2

のlet C> 1およびg（C）= 1 + C + C + ... + C ^N。

実現するための最初のものは、いくつかのnについて、我々はS（N）=を有することである（^{N + 1} C - 1）/（C - 1）S（n）が直列の和です。

そこで我々は（ 1 + N ^{C -} N C ^{）は/（C-1）< =（C N + 1 - 1）/（C - 1）= S（n）をC N> = 1}

のでだから（C ^{N + 1} - C ^N）/（C-1）=（^N（C-1）C）/（C-1 ）= c ⁿ < = S（n）

したがって、S（n）> = c ⁿです。

ここで下限を見つけたので、上限を見てみましょう。

そのS（N）=（C ^{N + 1} - 1）観察/（C - 1）< =（C ^{N + 1}）/（C - 1）=（（^N Cを）c）/（c -1）である。

単純に私たちの代数のビューでは、y = c /（c-1）とし、それを上記の式に代入します。

Cであるので従って、S（N）= <のY *のC ^NYはいくつかの定数であります！これは重要な観察である。なぜなら今はcの倍数にすぎないからである。ⁿ。

今、私たちは上限も見つけました。

したがって、我々は、c ^N < = S（N）= <のY *のC ^Nを有します。

したがって、S（N）=Θ（nは C）C> 1.