勾配から曲線を再構築する

Question

私は曲線があるとし、np.gradientを使って有限差分を使って勾配を推定します。初期点x [0]と勾配ベクトルが与えられたら、元の曲線をどのように再構築できますか？数学的には、この方程式系を考えれば可能ですが、私はそれをプログラム的に行う方法は不明です。

ここに私のsin（x）があり、cos（x）と一致する数値の差を計算する簡単な例があります。

test = np.vectorize(np.sin)(x) 
numerical_grad = np.gradient(test, 30./100) 
analytical_grad = np.vectorize(np.cos)(x) 

## Plot data. 
ax.plot(test, label='data', marker='o') 
ax.plot(numerical_grad, label='gradient') 
ax.plot(analytical_grad, label='proof', alpha=0.5) 
ax.legend(); 

Answer 1

正確な値を復元することができますゾイダルルール統合）。入力配列testを再現するために、私は疑問に提示したコードにフォローアップ

、我々は実行します。

x = np.linspace(1, 30, 100) 
integral = list() 
for t in range(len(x)): 
    integral.append(test[0] + np.trapz(numerical_grad[:t+1], x[:t+1])) 

整数配列は、数値積分の結果が含まれています。

Answer 2

あなたは統合を使用して初期曲線を復元することができます。人生の一例として、

：あなたは1Dは移動するための位置のための機能を持っている場合は、誘導体（勾配）

v(t) = s(t)' = ds/dt 

と速度を持つものとして、速度のための機能を得ることができ、あなたが潜在的に（すべてではない関数がある位置を取得することができます積分解析的に - この場合には数値積分）は、いくつかの未知の定数（シフトして）使用追加され - そして初期位置で私はnumpyののtrapz機能（trapeを使用することによって、それを行う方法を見つけ

s(T) = Integral[from 0 to T](v(t)dt) + s(0)