離散フーリエ変換のシフト定理

Question

私は別の関数と畳み込む必要があるタイプのいくつかの関数を持つpython + numpyの問題を解決しようとしています。コードを最適化するために、fとfのfftを実行し、それらを乗算した後、逆変換を実行して結果を得ました。

シフト定理のおかげで、fft（x、y、z）のfftを単純に計算してから、に依存する位相係数を乗算してfft 。特に、（Nはxとyの両方の長さ）です。

私はこの単純な数式をpython + numpyで実装しようとしましたが、現時点で私にとってはあいまいな何らかの理由で失敗しています。だから、私のことを理解するためにSOコミュニティの助けを求めています行方不明

私は簡単な例も提供しています。

In [1]: import numpy as np 
In [2]: x = np.arange(-10, 11) 
In [3]: base = np.fft.fft(np.cos(x)) 
In [4]: shifted = np.fft.fft(np.cos(x-1)) 
In [5]: w = np.fft.fftfreq(x.size) 
In [6]: phase = np.exp(-2*np.pi*1.0j*w/x.size) 
In [7]: test = phase * base 
In [8]: (test == shifted).all() 
Out[8]: False 
In [9]: shifted/base 
Out[9]: 
array([ 0.54030231 -0.j  , 0.54030231 -0.23216322j, 
     0.54030231 -0.47512034j, 0.54030231 -0.7417705j , 
     0.54030231 -1.05016033j, 0.54030231 -1.42919168j, 
     0.54030231 -1.931478j , 0.54030231 -2.66788185j, 
     0.54030231 -3.92462627j, 0.54030231 -6.74850534j, 
     0.54030231-20.55390586j, 0.54030231+20.55390586j, 
     0.54030231 +6.74850534j, 0.54030231 +3.92462627j, 
     0.54030231 +2.66788185j, 0.54030231 +1.931478j , 
     0.54030231 +1.42919168j, 0.54030231 +1.05016033j, 
     0.54030231 +0.7417705j , 0.54030231 +0.47512034j, 
     0.54030231 +0.23216322j]) 
In [10]: np.abs(shifted/base) 
Out[10]: 
array([ 0.54030231, 0.58807001, 0.71949004, 0.91768734, 
     1.18100097, 1.52791212, 2.00562555, 2.72204338, 
     3.96164334, 6.77009977, 20.56100612, 20.56100612, 
     6.77009977, 3.96164334, 2.72204338, 2.00562555, 
     1.52791212, 1.18100097, 0.91768734, 0.71949004, 0.58807001]) 

Iは、shifted/baseによってIは位相係数の対応する値を得ることができることを期待するが、見ることができるように、そのnp.absは> = 1であるので、それは、位相因子であることはできません！

Answer 1

私のコードの問題は、返り値np.fft.fftfreq()の誤った解釈と、健全な結果を得るために配列をパディングする必要性のために、入力行6の両方にありました。

次のコードはうまく機能し、多次元に拡張できます。

In [1]: import numpy as np 
In [2]: shift = 1 
In [3]: dx = 0.5 
In [4]: pad = 20 
In [5]: x = np.arange(-10, 11, dx) 
In [6]: y = np.cos(x) 
In [7]: y = np.pad(y, (0,pad), 'constant') 
In [8]: y_shift = np.cos(x-shift) 
In [9]: y_fft = np.fft.fft(y) 
In [10]: w = np.fft.fftfreq(y.size, dx) 
In [11]: phase = np.exp(-2.0*np.pi*1.0j*w*shift) 
In [12]: test = phase * y_fft 
In [13]: # we use np.real since the resulting inverse fft has small imaginary part values that are zero 
In [14]: inv_test = np.real(np.fft.ifft(test)) 
In [15]: np.allclose(y[:-pad-2],inv_test[2:-pad]) 
Out[15]: True