2次元から2次元への補間にはどのような数学的手法が有効ですか？ Z [1]、Zを返す

Question

だから、長さ2xNの長さ2xNのと別の

44,32 
44,19 
... 

と

12,32 
24,12 
... 

様マトリックスを有し、いくつかの関数f（x、y）があります[ 2]。我々が与えられた2つの行列は、x、y、z [1]、z [2]の既知の値ペアを表します。そのような場合に役立つ補間式は何ですか？

Answer 1

戻り値の問題を解決した場合は、補間によってf_1(x,y)とf_2(x,y)の2つの関数を見つけ、関数をf(x, y) = [f_1(x,y), f_2(x,y)]としてください。問題に適した補間関数を解くための方法を選択するだけです。

2次元の実際の補間問題については、これを処理する方法がたくさんあります。あなたが必要とするものがシンプルなら、線形補間を使うことができます。区分的な関数で問題ない場合は、ベジェ曲線またはスプラインを使用できます。あるいは、データが一様であれば、単純な多項式補間を取り除くことができます（2Dのときはそれほど簡単ではありませんが、簡単です）。

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EDIT：詳細といくつかのリンク。

Bilinear interpolation (wikipedia)を使用して区分的な解決が可能です。

多項式補間の場合、データがグリッド上にある場合は、次のアルゴリズムを使用できます（メモリの参照が見つかりません）。

データポイントは次のように多項式を書き換え、klにより、グリッド上にある場合：

f(x,y) = cx_1(x)*y^(k-1) + cx_2(x)*y^(k-2) + ... + cx_k(x) 

をここで、各係数cx_i(x)も度lの多項式です。第1のステップは、グリッドの各行または列を補間することによってlの多項式kを見つけることである。これが完了すると、各cx_i(x)多項式の補間点として、cx_i(x0),cx_i(x1)、...、cx_i(xl)（合計1 * k点を与えます）のような係数セット（つまり、l多項式）があります。これらの多項式は、上の定数を補間点として使用して、結果としてf(x,y)を得ることができます。

ベジェ曲線またはスプラインでも同じ方法が使用されます。唯一の違いは、多項式係数の代わりに制御点を使用することです。最初にデータ点を生成する一連のスプラインを取得し、これらの中間曲線の制御点を補間してサーフェスカーブの制御点を取得します。

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上記のアルゴリズムを明確にするための例を追加します。

0,0 => 1 
0,1 => 2 
1,0 => 3 
1,1 => 4 

我々はフィッティング2つの多項式で開始：（1、0）と（1、1のデータ・ポイントの1（0,0）と（0,1）、および他のは、以下のデータポイントを持ってみましょう）：今

f_0(x) = x + 1 
f_1(x) = x + 3 

、我々は我々が縦にこれらの多項式の係数を読んcoefficients.Whenを決定するために、他の方向に補間し、我々は2つの多項式を必要としています。 1つは0と1の両方で1に評価されます。そして1時0で1と評価されている別の、そして3：我々はf(x,y)にこれらを組み合わせた場合

cy_1(y) = 1 
cy_2(y) = 2*y + 1 

は、我々が得る：

f(x,y) = cy_1(y)*x + cy_2(y) 
     = 1*x + (2*y + 1)*1 
     = x + 2*y + 1