Pythonを使用して近似の誤差を計算すると、ステップサイズが小さくなるにつれて減少します

Question

x = 0で関数の1次導関数を計算するためにPythonを使用しました。私は何をすべきかを検討するための助けが必要です。私の正確な仕事は、私の近似のエラーがどのようにステップサイズSが10の累乗で減少するかをプロットすることです。hを少なくとも10E-8に減らす必要があります。ここに私のコードは私の関数を作成する次のとおりです。

私の機能とxの値を取得する：

from numpy import * 
from matplotlib.pyplot import * 
def f1(x): 
    g = sin(math.pi*e**-x) 
    return g 
n = 1000 
x = zeros(n+1,dtype=float) 
step = 2.0/float(n) 
f = zeros(n+1,dtype=float) 
df = zeros(n+1,dtype=float) 
dfdx= zeros(n+1,dtype=float) 
for i in range(0,n+1): 

    x[i] = -1.0 + float(i)*step 

    f[i] = f1(x[i]) 
    dfdx[i] = - math.pi*e**(-x[i])*cos(math.pi*e**-(x[i])) 
for i in range(0,n): 

    df[i] = (f[i+1]-f[i])/step 

df[n] = (f[n] - f[n-1])/step 


df2[0]=(f[1]-f[0])/step 
df2[n]=(f[n] - f[n-1])/step 
for i in range(1,n): 

    df2[i] = (f[i+1]-f[i-1])/(2.0*step) 

これはべきだったとして、パイを出力し、私はdfdx[x==0]を計算するのに必要なすべての値を、保存されました。私は、これは私の講義を参照して作られたまともなビットですが、私は何が起こっているのほとんどを知っている。私のエラーをプロットするために、ステップの値の配列hxを作成することにしました。私の推測ではdf[n/2]-dfdx[n/2]です。ここで、nはグリッドポイントの数です。私はこの中で、直接私の可変ステップを使用する必要があると感じ、私は以下の混乱を持っているよう

def f2(x): 
    l = df[n/2]-dfdx[n/2] 
hx = zeros(9,dtype=float) 
er = zeros(9,dtype=float) 

for i in range(0,n+1): 
    hx[i]= df[hx/2]-dfdx[hx/2] + 10**-[i] 
    g[i] = l(hx[i]) 

私は、この内の任意の自信を持っていない（明らかと一緒に - ？私は何をしますか） ：

• 10の累乗でステップサイズを小さくする必要があるアレイを適切に作成するにはどうすればよいですか？コード内でそれを試行する私の方法は動作しません。

• 私のエラー機能は有効ですか？そうでない場合、なぜですか？

• ステップサイズが小さくなるにつれて、適切に値を保存するにはどうすればよいですか？次のようなものが動作するはず

Answer 1

：

import numpy as np 
from matplotlib import pyplot as pl 

# define function 
def f1(x): 
    return np.sin(np.pi*np.exp(-x)) 

# define analytical derivative of function 
def df1dx(x): 
    return -np.pi*np.exp(-x)*np.cos(np.pi*np.exp(-x)) 

# get step size values for approximation logarithmically spaced between 0.1 and 1e-8 
dxv = np.logspace(-1, -8, 7) 

# get true derivative at zero 
dfdx = df1dx(0.0) 
print('Derivative at zero is {} (cf. pi is {})'.format(dfdx, np.pi)) 

# get absolute error between approximation with different step sizes 
errs = [] 
for dh in dxv: 
    dfdxapprox = np.diff(f1(np.array([-dh, dh])/2.))/dh # compute approximation to the differential about zero 
    errs.append(np.fabs(dfdx-dfdxapprox)[0]) # get error 

# plot errors as a function of step size 
pl.loglog(dxv, errs)