Ax = bで、xに依存x

Question

Ax = bを解く方法を理解していますが、bがxに依存する場合はどうなりますか？画像E3 = function（E4）を参照してください。私はこれが繰り返し行われていると思います..このような問題は何ですか？それを解決するためにどのような方法を使用しますか？

私は、次のシステム解決しようとしています

：

次の行列を導く：

以下の式のセットを与える

を

更新： としては、いくつかのより多くの情報要請：

A = ([ 
[-1, 0, 0, 0, 0], 
[1, -1, -1, 0, 0], 
[0, 1, 0, -1, 0], 
[0, 0, 1, 1, -1], 
[0, 0, 1, 0, 0] 
]) 

b = [-10, 0, 1, 1, 3] 

print(np.linalg.solve(A, b)) 

-> [ 10. 7. 3. 6. 8.] 

この作品を、しかし、どのような場合：

b = [-10, 0, 1, 1, some_function(x[3])] 

だから、E3 = some_function（E4）、これE3は、によって定義され、E4に依存'some_function'（非線形）

Answer 1

ええ、これを非線形最適化で解くことができます。 scipy.optimizeはすべてのジューシーな詳細を持っていますが、ここでsome_function(x)を想定してシステムを解く例ですx ** 2さ：すべての最適化技術は、最小化を基本的に機能している

import numpy as np 
import scipy.optimize as opt 

A = np.array([ 
    [-1, 0, 0, 0, 0], 
    [1, -1, -1, 0, 0], 
    [0, 1, 0, -1, 0], 
    [0, 0, 1, 1, -1], 
    [0, 0, 1, 0, 0.0] 
    ]) 
b = np.array([-10, 0, 1, 1, 3.0]) # last value is fake 

def objectiveFunction(x): 
    bNew = b.copy() 
    bNew[-1] = x[3] ** 2 # "some_function = lambda x: x**2" 
    error = np.dot(A, x) - bNew 
    return np.dot(error, error) 

solution = opt.minimize(objectiveFunction, np.zeros((5))) 

print(solution) 

。入力ベクトルは、最小のスカラーを生成するように、あなたはにオプティマイザ

1. （1つのベクトル入力引数を取り、スカラー数を返すと）を最小にする機能と
2. 初期推定を与える。

オプティマイザは、最小出力を生成する関数への入力をに返します。上記

objectiveFunction関数が最小化され、それはx候補溶液、どこbがxに依存する形を有しているA . x - b間にエラーを返します。

ローカルミニマムで捕まえることができるので、最適化手法を使用することは少し黒い芸術です。しかし、この場合には、非常に簡単そうです：上記のコードは次のように出力します：

 fun: 1.3591186209050682e-11 
hess_inv: array([[ 0.49698215, 0.08279412, 0.40828859, 0.08067816, 0.47743665], 
     [ 0.08279412, 0.39205925, -0.22445874, -0.02791535, -0.26595691], 
     [ 0.40828859, -0.22445874, 1.01438679, 0.18492456, 1.19990433], 
     [ 0.08067816, -0.02791535, 0.18492456, 0.05283296, 0.23785942], 
     [ 0.47743665, -0.26595691, 1.19990433, 0.23785942, 1.94819504]]) 
     jac: array([ -5.37158676e-06, 4.82585577e-06, 7.97108114e-06, 
     -6.31780565e-06, 4.76041890e-07]) 
    message: 'Optimization terminated successfully.' 
    nfev: 105 
     nit: 13 
    njev: 15 
    status: 0 
    success: True 
     x: array([ 10.00000068, 3.54138098, 6.45862309, 2.54138196, 8.00000528]) 

情報がたくさんあるが、重要なビットはxとfun値である：xがベクトルであるとfunがスカラーであるかに注意してください。これは、objectiveFunction(solution.x) == solution.funを意味します。これはつまり、答えがbであることを意味します（私の仮定したsome_function）はsolution.xであり、solution.fun（エラーはA . xとbの間の誤差）はゼロに近いため、これが正しいと確信することができます。

私は説明の束をスキップしていますが、必要な場合、私は手の込んだことができます。

Answer 2

b(x)が非線形関数の一部である場合、左辺にはA*xがありません。最も簡単な表現方法は、A*x - b(x)=0、つまりF(x) = 0の一般非線形方程式です。でも、これを解決しようとする前に、厄介な結果のいくつかの点に注意してください。一般的には

• は、あなたがソリューションの分布については何も言うことはできません。 1つはありますか？より詳細な分析をしなくても、言うことはできません。おそらく、いくつか、または無限に多くのものがありますか？線形方程式系（A*x = b）では、すべての情報が行列に入っていますが、非線形方程式はありません。非線形ソルバーがソリューションランドスケープの構造についての仮定を作ることができないので

• 、何のソルバーが収束することが保証されません。実際、すべての非難解ソルバは局所的なものに過ぎません。つまり、ソルバは解に「近い」最初の推測を提供し、ソルバはその推測に向かって収束します。コンバージェンスを保証するには、開始する前にソリューションの良いアイデアが必要です。実際には、多くの人がランダムな推測を行い、ローカルソルバーに指をかざして何度もやります。

• は間違いなく、最も人気のある地元のソルバーはニュートン法です。二次収束を達成する唯一のソルバーです（既にソリューションに近い場合）。各ステップで、ヤコビ行列を使った線形方程式系を解く必要があります。すなわち、J*d = -F(x)です。あなたがそれを慎重にしなければ、それだけではかなり高価になる可能性があります。

これですべてを知っているので、scipy optimizeで遊ぶことができます。あなたの質問から欠落している多くの情報があります