関数y = at^b * exp（-ct）に名前がありますか？線形化できますか？ a、b、cをどのように見積もることができますか？

Question

私は非線形モデルに適合しようとしていますが、良い例はありません online。

この関数には名前がありますか？

線形化できますか？

Iは、以下の時間tの関数としての（グループのように）ランダム効果gとパラメータa、b、及びcを推定することを試みてきました。私はランダムな効果なしでnlsを使ってモデルを適合させることができますが、モデルを収束させることに問題があります。提案は歓迎されます（R内にあることが望ましいが、適切なパッケージがあればよい）？

## time, repeated 16 times for 4 replicates from each of 4 groups 
t <- rep(1:20, 16) 
## g, group 
g <- rep(1:4, each = 80) 

## starting to create an example dataset, 
## to see if I can recover known parameters 
a <- rep(c(3.5, 4, 4.1, 5), each = 80) 
b <- rep(c(1.1, 1.4, 1.8, 2.5), each = 80) 
c <- rep(c(0.125, 0.25), each = 160) 

## error to add to above parameters 
set.seed(1) 
e_a <- runif(320, -0.5, 0.5) 
e_b <- runif(320, -0.1, -0.1) 
e_c <- runif(320, -0.02, 0.02) 

## this is my function 

f <- function(t, a, b, c) a * (t^b) * exp(-c * t) 

## simulate y 
y <- f(t = t, a + e_a, b + e_b, c + e_c) 

mydata <- data.frame(t = t, y = y, g = g) 

library(nlme) 
## now fit the model to estimate a, b, c 
fm1 <- nlme(y ~ a * (t^b) * exp(-c * t), 
      data = mydata, 
      fixed = a + b + c~1, 
      random = a + b + c ~ 1|g, 
      start = c(a = 4, b = 1, c = 0.25), 
      method = "REML") 

Answer 1

物理学で

（およびいくつかの他の領域）私はこれを見てきたか、他の名前を持っているけれども、それの変異体は、HoerlカーブやHoerl機能e.g. hereと呼ばれます。 cが負であり、およびbが正の場合、それはスケールされたガンマ密度です。

線形化について質問するときは注意が必要です。式y = ^b。 EXP（CT）は、あなたが何を意味するか、実際にはありません - 観測、Y（I）、に正確に等しいではありません。 t（i）^ b。 exp（ct（i））（そうでなければ、ほぼ3回の観測で正確なパラメータ値が得られます）。

ノイズはyのためにモデルに入力する必要があります。それは付加的ですか？乗法、または他の何か？ （また、それ以外の理由で重要：？違う観測のノイズ項は独立しているトン変更、またはないなど、いくつかの方法で、そのサイズを変更していますか？）

実際のモデルがYある場合（I）= ,（i）^ bである。 （ct（i））+ε（i）、これは線形化できません。

実際のモデルがY（I）=で（I）であれば^ B。 exp（ct（i））。線形化可能ないくつかの（期待してゼロ平均）η（i）に対してε（i）およびε（i）= exp（η（i）第二の形態をとる

、

ログ（Y（I））=ログ（A）+ Bログ（トン（I））+ C トン（I）+ログ（ε（I））

又は

（i）= a * + b.log（t（i））+ c。 トン（I）+η（I）パラメータの線形 * =ログ（）である

、Bおよびc、及び誤差項η （i）;そのような線形モデルに適した方法でエラーに当てはめることができるはずです。そのような場合には、上記のエラー用語についてのかっこの質問を熟考して、それをモデル化する方法に影響する可能性があります。