オプション価格設定のための高速フーリエ変換の実装

Question

私がやっている小さなプロジェクトについてのヒントが必要です。私の目標は、オプションの価格設定に適用できる高速フーリエ変換アルゴリズム（FFT）の実装です。

最初の懸念事項：どのFFT？

さまざまなFFTアルゴリズムがあります。最も有名なのはCooley-Tukeyです。これについての私の考え：これは論文でも大きなプロジェクトでもなく、アルゴリズムに関するコースなので、私は最も単純なものを好む。しかし、それはオプションの価格設定と互換性がなければならない（最も一般的な文献とは対照的に、画像/音声処理の参照されたアプリケーション）。したがって、提供される入力の形式（いくつかのアドバイスが必要）によって異なります。フラクショナルFFT、混合基数FFTなどのいくつかの改良に精通していますが、これらはかなり複雑で、最適化/パフォーマンスが重視されていますが、これは私のプロジェクトには関係ありません。

第2の関心事：どの価格モデルですか？

私はBlack-Scholes（BS）がちょっとフラットなので、BSの後に出てきたいくつかのモデルを知っています。したがって、上記と同じ目的で、私は最初にHestonモデルを好むでしょう。

多くの考慮事項がありますが、真実は私が木の木を見ることができないことです。

いくつかの背景情報：

は私のバックグラウンドは数学のB.Sc（理論値）であるので、私はフーリエ変換のいくつかを理解しています。

目標は、オプション価格を計算するためのFFT実装です。それは最速である必要はありません（極端な最適化はありません）。目標は、選択されたFFTを理解しようとしており、実際の作業アプリケーションを持っています。

あなたは選択肢に関するアドバイスをいただけますか？

私は、FFT +オプションの価格に関する多くの論文を読んだことがあります。たとえば、最初の数ページのグーグルでのまともなヒットをすべて言います。しかし、これらの研究はずっと高い理由で書かれていました。

Answer 1

私はこのトピック（オプション価格設定に適用されるFFT）を数週間研究しています。それは主題についての広範な作業があることが判明しているので、アレクサンドルが暗示するようにほとんど役に立たない。

私が見つけた最も読みやすい基本的な論文は、Carr and Madan（www.math.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf/jcfpub.pdf）ですが、さまざまなレベルの詳細がありますが、 Googleは「オプション価格フーリエ」検索で検索します。

近い将来、Rでこれをコーディングしている可能性があります。私はテストのためのオプションの価格データのまともなソースを見つけるしようとしています。

Answer 2

FFTは、DFTの最適化された実装です。私は、KissFFTのような既存のFFTライブラリを使用するか、実際にこれをゼロから実装したいのであれば、FFTではなくDFTを実装することをお勧めします。これははるかに簡単であり、データレートまたは大量のデータ。

Answer 3

FFTを使用することを目標とする場合は、選択肢が貧弱です。アフィンモデルだけでは、スポット密度のフーリエ変換を得るのに十分な情報が得られます。実際には、これはBlack-Scholes、つまりHestonを意味します。おそらくもう少しだが、「有用な」モデルのどれも。

Hestonのモデルは、（その暗黙の体積力学に関係する）特異な特徴を有し、確率的な体積モデルとしては全く役に立たない。フーリエ変換を使って半閉じた形でバニラ・オプションを購入することができるという事実のために、それが普及していると思います。現代の技術では、これはもはや本当の資産ではありません。

オプション価格に興味があるなら、私はあなたがFFTであまりにも頑張ってはいけませんし、PDEやモンテカルロの方法に変えてみることをお勧めします：あなたが遊べるモデルの範囲は、あなたが興味を持っている場合には、雇用市場でもっと価値があります）。

あなたの質問のFFTの部分については、ゼロからクーリー​​ - テューキーを実装することは難しいことではありません、あなたはそこに開始することができます。もちろん、プロダクションコードでは、（FFTWのような）缶詰パッケージを使うほうが良いです。

Answer 4

私はradix-2デシメーションインタイムの実装を以下に提供しています MatlabのCooley-Tukey方式。コードは、反復一つであり、次の図のスキームを考慮：

再帰的なアプローチも可能です。

実装では、実行された乗算と加算の数も計算され、How many FLOPS for FFT?で報告された理論計算と比較されます。

このコードは、Matlabによって悪用された高度に最適化されたFFTWよりもはるかに低速です。

また、回転因子omegaa^(interButterflyIndex * 2^(numStages - p))をオフラインで計算してからルックアップテーブルから復元することもできますが、この点は以下のコードではスキップされています。

% --- Radix-2 Decimation In Time - Iterative approach 

clear all 
close all 
clc 

N = 32; 

x = randn(1, N); 
xoriginal = x; 
x = bitrevorder(x); 
xhat = zeros(1, N); 

numStages = log2(N); 

omegaa = exp(-1i * 2 * pi/N); 

mulCount = 0; 
sumCount = 0; 
tic 
for p = 1 : numStages 
    alpha = 2^(p - 1); 
    butterflyStart = 1; 
    while (butterflyStart <= (N - alpha)) 
     for interButterflyIndex = 0 : alpha - 1 
      xhat(butterflyStart)   = x(butterflyStart) + x(butterflyStart + alpha) * omegaa^(interButterflyIndex * 2^(numStages - p)); 
      xhat(butterflyStart + alpha) = x(butterflyStart) - x(butterflyStart + alpha) * omegaa^(interButterflyIndex * 2^(numStages - p)); 
      mulCount = mulCount + 4; 
      sumCount = sumCount + 6; 
      butterflyStart = butterflyStart + 1; 
      if (interButterflyIndex == (alpha - 1)) 
       butterflyStart=butterflyStart + alpha; 
      end; 
     end; 
    end; 
    x = xhat; 
end; 
timeCooleyTukey = toc; 

tic 
xhatcheck = fft(xoriginal, N); 
timeFFTW = toc; 

rms = 100 * sqrt(sum(sum(abs(xhat - xhatcheck).^2))/sum(sum(abs(xhat).^2))); 

fprintf('Time Cooley-Tukey = %f; \t Time FFTW = %f\n\n', timeCooleyTukey, timeFFTW); 
fprintf('Theoretical multiplications count \t = %i; \t Actual multiplications count \t = %i\n', ... 
     2 * N * log2(N), mulCount); 
fprintf('Theoretical additions count \t\t = %i; \t Actual additions count \t\t = %i\n\n', ... 
     3 * N * log2(N), sumCount); 
fprintf('Root mean square with FFTW implementation = %.10e\n', rms);