行列の乗算結果の値の範囲

Question

は最初の質問です。ウェーブレット係数を行列として計算するのは簡単です（値を推定するために、すべての丸め処理は無視され、最大値の推定には影響しません）。

DWT2の第1レベルには、2方向にLeGall 5/3フィルタを実行する2つのステップがあります。入力8 * 8行列をI、ウェーブレット係数行列をAとすると、水平方向について

1. ： OUTPUT1 = IA

2. そして垂直方向に計算される：実際に が、それはOUTPUT2 = output1'.Aとして表すことができる（のOUTPUT1の転置を使用Aをもう一度掛けてください）、私たちが望む結果の転置を得ることができます。

3. 出力2を転置します。 output_lvl1 = output2 '=（output1'.A）' =（（IA） 'A）' =（A'.I'A） '= A'.IA（ここでは、 4,1：4）数学記号...）

ウェーブレットの第2レベルのみoutput_lvl1（1 LLの領域で行われます。基本的には、プロセスは同じです（係数行列をBと表記します）。ここで

は（...期待し、それが正しい）AとBが私の計算に基づいて行列の係数である

A = [0.75 -0.125 0  0  -0.5 0 0 0; 
     0.5  0.25 0  0  1 0 0 0; 
     -0.25 0.75 -0.125 0  -0.5 -0.5 0 0; 
     0  0.25 0.25 0  0 1 0 0; 
     0  -0.125 0.75 -0.125 0 -0.5 -0.5 0 
     0  0  0.25 0.25 0 0 1 0; 
     0  0  -0.125 0.625 0 0 -0.5 -1; 
     0  0  0  0.25 0 0 0 1]; 

B = [0.75 -0.125 -0.5 0; 
    0.5 0.25 1 0; 
    -0.25 0.75 -0.5 -1; 
    0  0.125 0 1]; 

そして今、問題になった： 1.私たちはAおよび範囲を知っていれば入力（行列I）の値は-128から+127ですが、output_lvl1 = A'.IAの値の範囲は？

2. output_lvl1（1：4,1：4）を入力I2として使用すると、B'.I2.Bの値の範囲は？

私は本当にここで数学の助けが必要です。前もって感謝します。

Answer 1

最後に、私はこれを解決する方法を見つけました。 SymPy libは本当に必要なものです。

最大値はB'I2.Bの結果でのみ可能でした。だからプログラムがこれを行うでしょう。

from sympy import * 
def calcu_max(strin): 
    x=0 
    strin1 = str(strin).replace('*',' ').replace('+',' ').replace('-',' ') 
    strin1 = strin1.split(' ') 
    for ele in strin1: 
     if '[' in ele or ']' in ele or ele =='': 
      continue 
     x = x + float(ele) 
    return x 

DWT1 = Matrix(8, 8, [0.75, -0.125, 0, 0,-0.5, 0, 0, 0, 0.5, 0.25, 0, 0, 1, 0, 0, 0, -0.25, 0.75, -0.125, 0, -0.5, -0.5, 0, 0, 0, 0.25, 0.25, 0, 0, 1, 0, 0, 0,-0.125, 0.75, -0.125, 0, -0.5, -0.5, 0, 0, 0, 0.25, 0.25, 0, 0, 1, 0, 0, 0, -0.125, 0.625, 0, 0, -0.5, -1, 0, 0, 0, 0.25, 0, 0, 0, 1]) 

Input1 = MatrixSymbol('A',8,8) 
DWT1_t = Transpose(DWT1) 

output_lvl1_1d = DWT1_t*Input1 
output_lvl1_2d = output_lvl1_1d* DWT1 

#print 'output_lvl1_2d[0,0]: ' 
#print simplify(output_lvl1_2d[0,0]) 

#bulit 2nd lvl input from the lvl1 output (1:4,1:4) 

input_lvl2 = output_lvl1_2d[0:4,0:4] 

DWT2 = Matrix(4, 4, [0.75, -0.125, -0.5, 0, 0.5, 0.25, 1, 0, -0.25, 0.75, -0.5, -1, 0, 0.125, 0, 1]) 

DWT2_t = Transpose(DWT2) 

output_lvl2_1d = DWT2_t*input_lvl2 
output_lvl2_2d = output_lvl2_1d * DWT2 


#Lvl 2 calculate max 
max_lvl2 = zeros(4,4) 
for i in range(4): 
    for j in range(4): 
     max_lvl2[i,j]=128.0*calcu_max(simplify(output_lvl2_2d[i,j])) 
     print str(i)+' '+str(j)+' '+str(max_lvl2[i,j]) 
     #print max_lvl2[i,j] 
print max_lvl2 

さて、ここでの結果は、（1つの行列内のすべての可能な最大値を入れて、最小値は相応に否定している）である。そして、

[338.000000000000, 266.500000000000, 468.000000000000, 468.000000000000], 
[266.500000000000, 210.125000000000, 369.000000000000, 369.000000000000], 
[468.000000000000, 369.000000000000, 648.000000000000, 648.000000000000], 
[468.000000000000, 369.000000000000, 648.000000000000, 648.000000000000] 

648は、私が探していますものです。