IEEE-754倍精度と分割方法

Question

基本関数を計算するときは、定数変更を適用します。特にexp（x）の実装にあります。これらのすべての実装では、ln（2）による修正は2つのステップで行われます。 （2）LNは、二つの数に分割されています。私はそれを丸め効果を避けるために知っている

blablabla -= ln2p1 
blablabla -= ln2p2 

：

static const double ln2p1 = 0.693145751953125; 
static const double ln2p2 = 1.42860682030941723212E-6; 
// then ln(2) = ln2p1 + ln2p2 

はその後LNとの任意の計算は、（2）によって行われます。しかし、なぜこの2つの数字が特別なのですか？あなたはこの2つの数字をどうやって得るのか考えている人もいます。

ありがとうございました！

最初のコメントの後、私はより重要な、そして非常に奇妙な質問でこの投稿を完成させます。私はチームと一緒に仕事をしており、ln（2）という数字を2つの数字に分割して精度を倍にすることには同意します。このために、2つの変換は、最初のものを適用されます。

1) c_h = floor(2^k ln(2))/2^k 
2) c_l = ln(2) - c_h 

kはフロートkは9上に固定されているため見た目にCephesライブラリー（〜1980年）に好きな、精度を示し、ダブル、また16 16長い間の長い二倍（なぜ私が知らないのか）。したがって、doubleの場合、c_hは16ビットの精度を持ちますが、c_lの精度は52ビットです。

これから、私は次のプログラムを書いて、52ビットの精度でc_hを決定します。

#include <iostream> 
#include <math.h> 
#include <iomanip> 

enum precision { nine = 9, sixteen = 16, fiftytwo = 52 }; 

int64_t k_helper(double x){ 
    return floor(x/log(2)); 
} 

template<class C> 
double z_helper(double x, int64_t k){ 
    x -= k*C::c_h; 
    x -= k*C::c_l; 
    return x; 
} 

template<precision p> 
struct coeff{}; 

template<> 
struct coeff<nine>{ 
    constexpr const static double c_h = 0.693359375; 
    constexpr const static double c_l = -2.12194440e-4; 
}; 

template<> 
struct coeff<sixteen>{ 
    constexpr const static double c_h = 6.93145751953125E-1; 
    constexpr const static double c_l = 1.42860682030941723212E-6; 
}; 

template<> 
struct coeff<fiftytwo>{ 
    constexpr const static double c_h = 0.6931471805599453972490664455108344554901123046875; 
    constexpr const static double c_l = -8.78318343240526578874146121703272447458793199905066E-17; 
}; 


int main(int argc, const char * argv[]) { 

    double x = atof(argv[1]); 
    int64_t k = k_helper(x); 

    double z_9 = z_helper<coeff<nine> >(x,k); 
    double z_16 = z_helper<coeff<sixteen> >(x,k); 
    double z_52 = z_helper<coeff<fiftytwo> >(x,k); 


    std::cout << std::setprecision(16) << " 9 bits precisions " << z_9 << "\n" 
             << " 16 bits precisions " << z_16 << "\n" 
             << " 52 bits precisions " << z_52 << "\n"; 



    return 0; 

}

私は異なる値のセットのために、今計算した場合、私は得る：

bash-3.2$ g++ -std=c++11 main.cpp 
bash-3.2$ ./a.out 1 
9 bits precisions 0.30685281944 
16 bits precisions 0.3068528194400547 
52 bits precisions 0.3068528194400547 
bash-3.2$ ./a.out 2 
9 bits precisions 0.61370563888 
16 bits precisions 0.6137056388801094 
52 bits precisions 0.6137056388801094 
bash-3.2$ ./a.out 100 
9 bits precisions 0.18680599936 
16 bits precisions 0.1868059993678755 
52 bits precisions 0.1868059993678755 
bash-3.2$ ./a.out 200 
9 bits precisions 0.37361199872 
16 bits precisions 0.3736119987357509 
52 bits precisions 0.3736119987357509 
bash-3.2$ ./a.out 300 
9 bits precisions 0.56041799808 
16 bits precisions 0.5604179981036264 
52 bits precisions 0.5604179981036548 
bash-3.2$ ./a.out 400 
9 bits precisions 0.05407681688 
16 bits precisions 0.05407681691155647 
52 bits precisions 0.05407681691155469 
bash-3.2$ ./a.out 500 
9 bits precisions 0.24088281624 
16 bits precisions 0.2408828162794319 
52 bits precisions 0.2408828162794586 
bash-3.2$ ./a.out 600 
9 bits precisions 0.4276888156 
16 bits precisions 0.4276888156473074 
52 bits precisions 0.4276888156473056 
bash-3.2$ ./a.out 700 
9 bits precisions 0.61449481496 
16 bits precisions 0.6144948150151828 
52 bits precisions 0.6144948150151526 

xは300差が現れるよりも大きくなったときにそれが好き。私はgnulibcの実装に見ていた

http://osxr.org:8080/glibc/source/sysdeps/ieee754/ldbl-128/s_expm1l.c

現在、それはIEEE規格に、

は、まあ、私はおそらく何かが足りないのですC_H（ライン84）のための16ビットの予知を使用しており、私はglibcの精度の誤差を想像することはできません。どう思いますか ？

ベスト、

Answer 1

ln2p1は正確に65536分の45426です。これはround(65536 * ln(2))によって得ることができます。 ln2p2は単に残りの部分です。したがって、この2つの数について特別なものは、分母65536（2 ）です。私はこの定数を使用して、ほとんどのアルゴリズムは戻って2 が選ばれた理由をおそらく説明する16ビット・コンピューティングはまだ支配された場所最初の1984年にリリースされたcephesライブラリ、に遡ることができる見つけたものから

。