Mathematica：NExpectationとExpectationの結果が一致しない

Question

次のコードは、NExpectationとExpectationの異なる値を返します。 NormalDistribution[]について同じことを試してみると、NExpectationのコンバージェンスエラーが発生します（ただし、最終結果はすべてが0です）。 問題の原因は何ですか？

U[x_] := If[x >= 0, Sqrt[x], -Sqrt[-x]] 

N[Expectation[U[x], x \[Distributed] NormalDistribution[1, 1]]] 

NExpectation[U[x], x \[Distributed] NormalDistribution[1, 1]] 

出力：

-0.104154 
    0.796449 

Answer 1

あなたはすべての3つのメソッド数値以外の値の評価を避けるために、あなたの関数uの引数を変更した場合と同じ結果与える：と

u[x_?NumericQ] := If[x >= 0, Sqrt[x], -Sqrt[-x]] ; 
Expectation[u[x], x \[Distributed] NormalDistribution[1, 1]] // N; 
N[Expectation[u[x], x \[Distributed] NormalDistribution[1, 1]]] ; 
NExpectation[u[x], x \[Distributed] NormalDistribution[1, 1]]; 
{% === %% === %%%, %} 

を結果 {True、0.796449}

Answer 2

実際にはIntegrateバグです。

のは、あなたの

U[x_] := If[x >= 0, Sqrt[x], -Sqrt[-x]] 

とUとVの両方について

FullSimplify[U[x] - V[x], x \[Element] Reals] (* Returns 0 *) 

実数を超える等価です同等

V[x_] := Piecewise[{{Sqrt[x], x >= 0}, {-Sqrt[-x], x < 0}}] 

を定義してみましょう、分析ExpectationコマンドはMethodを使用していますオプション"Integrate"これはこのように、何それは本当にやっていることはV

Integrate[V[x] PDF[NormalDistribution[1, 1], x], {x, -Infinity, Infinity}] 

ため

(Sqrt[Pi] (BesselI[-(1/4), 1/4] - 3 BesselI[1/4, 1/4] + 
    BesselI[3/4, 1/4] - BesselI[5/4, 1/4]))/(4 Sqrt[2] E^(1/4)) 

積分を返し不可欠

Integrate[U[x] PDF[NormalDistribution[1, 1], x], {x, -Infinity, Infinity}] 

ある

Table[Expectation[U[x], x \[Distributed] NormalDistribution[1, 1], 
    Method -> m], {m, {"Integrate", "Moment", "Sum", "Quantile"}}] 

を実行することで見ることができます3210

は、同じ回答を返しますが、係数を掛けたのは1 + Iです。これは明らかにバグです。 U又はVを用い

数値積分は、0.796449の期待値を返す：

NIntegrate[U[x] PDF[NormalDistribution[1, 1], x], {x, -Infinity, Infinity}] 

これはおそらく正しい解です。

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編集：u[x_?NumericQ]定義が行われてから解析積分を防止するため、すべてのバージョンのkguler's answer戻り同じ値であることを理由は、そうExpectationが未評価であり、その数値を求めたときNExpectationを用いに戻り。 。

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編集2： もう少し問題を分解、あなたは両方の範囲を超える

In[1]:= N@Integrate[E^(-(1/2) (-1 + x)^2) Sqrt[x] , {x, 0, Infinity}] 
     NIntegrate[E^(-(1/2) (-1 + x)^2) Sqrt[x] , {x, 0, Infinity}] 

Out[1]= 0. - 0.261075 I 
Out[2]= 2.25748 

In[3]:= N@Integrate[Sqrt[-x] E^(-(1/2) (-1 + x)^2) , {x, -Infinity, 0}] 
     NIntegrate[Sqrt[-x] E^(-(1/2) (-1 + x)^2) , {x, -Infinity, 0}] 

Out[3]= 0.261075  
Out[4]= 0.261075 

を見つけ、積分は指数関数的減衰を持つ本物の、非振動です。想像上/複雑な結果は必要ありません。

最後に、上記の結果がMathematicaバージョン8.0.3で保持されることに注意してください。 バージョン7では、積分は1F1超幾何関数を返し、解析結果は数値結果と一致します。したがって、このバグ（Wolfram | Alphaに現在ある）は回帰です。