Mathematicaでの統合

Question

私は "象徴的に"解決した問題と少しのシミュレーションを通して、別の解決策を得たいと思います。今、Mathematicaを使って直接どのように統合できたかを知りたい。

r = 1、（0,0）を中心とするディスクで表されるターゲットを考えてみてください。このターゲットをダーツ投げに当てる確率をシミュレーションしたいと思います。

さて、私はそれらを投げ何の偏見を持っていない、それは私がセンターにヒットするものと平均的にムー= 0であるが、私の分散は、それがターゲット（または壁にぶつかると、私のダーツの座標を考慮すると1

です:-)）私は、次の分布、2つのガウス分布を有する：

1/(2 \[Pi]\[Sigma]^2) E^(-((x^2 + y^2)/(2 \[Sigma]^2))) 

：

XDistribution : 1/Sqrt[2 \[Pi]\[Sigma]^2] E^(-x^2/(2 \[Sigma]^2)) 

YDistribution : 1/Sqrt[2 \[Pi]\[Sigma]^2] E^(-y^2/(2 \[Sigma]^2)) 

= 1に等しい分散と0を中心とそれら2分布を有するが、私の同時分布は、次のような変量ガウスなります

ターゲットに当たったり、x^2 + y^2の確率が1に劣る確率を知る必要があります。

極座標系での変換後の統合は私に最初の解決策をもたらしました： .39。シミュレーションは、使用してそれを確認：

Total@ParallelTable[ 
    If[ 
     EuclideanDistance[{ 
         RandomVariate[NormalDistribution[0, Sqrt[1]]], 
         RandomVariate[NormalDistribution[0, Sqrt[1]]] 
         }, {0, 0}] < 1, 1,0], {1000000}]/1000000 

私はMathematicaの統合の能力を使用してこの問題を解決するために、よりエレガントな方法があったと感じますが、エーテル仕事をマッピングするためにやったことがなかったです。

Answer 1

実際にこれを行う方法はいくつかあります。

最も単純なようNIntegrateを使用することです：これは（上記のあなたの例と同様に）、経験的にそれを行うための別の方法ですが、NIntegrateを使用してより多く遅く

JointDistrbution = 1/(2 \[Pi] \[Sigma]^2) E^(-((x^2 + y^2)/(2 \[Sigma]^2))); 
NIntegrate[JointDistrbution /. \[Sigma] -> 1, {y, -1, 1}, 
    {x, -Sqrt[1 - y^2], Sqrt[1 - y^2]}] // Timing 

Out[1]= {0.009625, 0.393469} 

：

(EuclideanDistance[#, {0, 0}] <= 1 & /@ # // Boole // Total)/ 
    Length@# &@RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], {10^6, 2}] // 
    N // Timing 

Out[2]= {5.03216, 0.39281} 

Answer 2

内蔵機能 NProbability

も速いです：

NProbability[ x^2 + y^2 <= 1, {x, y} \[Distributed] 
BinormalDistribution[{0, 0}, {1, 1}, 0]] // Timing 

または

NProbability[x^2 + y^2 <= 1, x \[Distributed] 
NormalDistribution[0, 1] && y \[Distributed] 
NormalDistribution[0, 1] ] // Timing 

両方が{0.031, 0.393469}を与えます。

n標準法線の二乗和がChiSquare[n]を配布されているので、あなたはz=x^2+y^2とxとyがNormalDistribution[0,1]配布され、より合理化された表現NProbability[z < 1, z \[Distributed] ChiSquareDistribution[2]]を取得します。タイミングは上記と同じです：{0.031, 0.393469}。

編集：8Gメモリ（MMA 8.0.4）を搭載したVista 64ビットCore2 Duo T9600 2.80GHzマシンのタイミングです。このマシンのYodaのソリューションは、タイミング{0.031, 0.393469}を持っています。

EDIT 2：次のようにChiSquareDistribution[2]を使用してシミュレーションを行うことができます。

(data = RandomVariate[ChiSquareDistribution[2], 10^5]; 
    Probability[w <= 1, w \[Distributed] data] // N) // Timing 

は{0.031, 0.3946}を生み出します。

EDIT 3：タイミングに関する詳細：

First@Transpose@Table[Timing@ 
    NProbability[x^2 + y^2 <= 1, {x, y} \[Distributed] 
    BinormalDistribution[{0, 0}, {1, 1}, 0]], {10}] 

のために私は{0.047, 0.031, 0.032, 0.031, 0.031, 0.016, 0.031, 0.015, 0.016, 0.031}を得る

First@Transpose@Table[Timing@ 
NProbability[x^2 + y^2 <= 1, 
x \[Distributed] NormalDistribution[0, 1] && 
    y \[Distributed] NormalDistribution[0, 1] ], {10}] 

については{0.047, 0.031, 0.031, 0.031, 0.031, 0.016, 0.016, 0.031, 0.015, 0.016}

を取得します。

私は {0.047, 0.015, 0.016, 0.016, 0.031, 0.015, 0.016, 0.016, 0.015, 0.}を得る

First@Transpose@Table[Timing@ 
NProbability[z < 1, 
z \[Distributed] ChiSquareDistribution[2]], {10}] 

については

。私は{0.031, 0.032, 0.015, 0., 0.016, 0., 0.015, 0.016, 0.016, 0.}を得るヨーダの

First@Transpose@Table[Timing@(JointDistrbution = 
    1/(2 \[Pi] \[Sigma]^2) E^(-((x^2 + y^2)/(2 \[Sigma]^2))); 
NIntegrate[ 
    JointDistrbution /. \[Sigma] -> 1, {y, -1, 
    1}, {x, -Sqrt[1 - y^2], Sqrt[1 - y^2]}]), {10}] 

については

。私は{0.031, 0.016, 0.016, 0., 0.015, 0.016, 0.015, 0., 0.016, 0.016}を得た経験的推定

First@Transpose@Table[Timing@(Probability[w <= 1, 
w \[Distributed] data] // N), {10}] 

については

。