HaskellのすべてのMonadインスタンスは、HaskからHaskへのマッピング方法が異なりますか？

Question

私はHaskell/Category theoryを読み、ここにその記事からdefinition of monadですよ：

モナドは、いくつかの追加の構造をサポートし、同じ カテゴリに分類から、ファンクタの特殊なタイプです。したがって、 の定義に至ります。

が

単位：C内のすべてオブジェクトXのための2つの 射とともに、C-> C：モナドはファンクタMであり、X - > M（X）

参加：M （M（X））→M（X）

私が理解しているように、Haskell returnはunitに相当します。

x :: [Int] -- x is a member of Lst category 
x = return 5 

を、これはHaskellのに有効なコードです。しかし、returnで、私は書くことができます。 ご覧のとおり、5はLstのメンバーではありませんが、returnのメンバーです。

だから、私はLstはM からСではないことを推測する：C-> C。しかし誰ですか？

はたぶん正しい答えはHaskですが、私は「そのサブカテゴリのカテゴリからファンクタは」「同じカテゴリのカテゴリからファンクタ」と同じであることはよく分かりません。

Answer 1

これは混乱の一般的な点であり、あなたはそれが答えるために十分に明確に質問しています。

私は「カテゴリからそれまでファンクタはサブカテゴリだ」ということはよく分からないが、「カテゴリから同じカテゴリからファンクタ」と同じです。

これは同じではありません。ファンクタは、ソースカテゴリC、ターゲットカテゴリD、CのオブジェクトからDのオブジェクトへのマッピング、およびCのモーフィズムとDのモーフィズムのマッピングからなる4つのデータから構成され、いくつかの条件を満たす。 Dを変更すると、ファンクタが変更されます。

しかし、ファンクタを定義すると、カテゴリDで何らかの選択肢があることがよくあります。私はLstのLstのオブジェクトが[a]のタイプのタイプであるHaskのサブカテゴリであると推測していますが、Lstのモーフがどうなっているのか分かりません。我々は、これら2つの形状のいずれかのファンクタ[]を定義することができます。

1. []：Hask - >Lst（すなわち、[]の対象カテゴリがLstある）

2. []を：Hask - >Hask（すなわち、[]の対象カテゴリはHask）

これらは技術的に異なるファンクタです。選択する必要があります。このコンテキストでは、正しい選択肢は選択肢2です。[]の出力に[]のjoinを適用する必要があるため、ソースとターゲットのカテゴリを同じにする必要があります。したがってC = HaskおよびM = []です。

一般的に、タイプコンストラクタのイメージとして定義されているLstのようなカテゴリは、ほとんど考慮しないとわかりません。私はこの（非常に一般的な）発想がどこから来るのかは分かりません。私はあなたが "カテゴリLst"の考えを脇に置くことをお勧めします。 1つのカテゴリで十分です。

類推のために、実数f（x）= x^2を2乗する関数を考えてみましょう。これをf（x）が負でない実数値だけをとるようにしても、これを実数から実数への関数f：R→Rとして見ることができる。 fの目標は、fの画像（入力値で実際にfによって達成される値）と等しくなる必要はありません。

Answer 2

モナドは、定義によれば、エンドフンターです。 Functorは、型を取り、新しい型を返す（つまり、種類が* -> *の）型レベル関数である型コンストラクタに対して、Functorのインスタンスが定義されているので、本当にendofunctorを表します。

return :: Monad m => a -> m aので、returnはタイプIntの値を取り、タイプ[Int]の値を返すことができることは驚くべきことではありません。