ODEと一貫した用語の数値方法

Question

皆さん！

「ODEの数値メソッド」に慣れています。私はいくつかの基本的な文献を読んでいるが、コンセプトや方法の大部分は私には新しかったので、私はすべてを正しく理解すればフィードバックをくれればいいかと尋ねたがっている。

a）のテイラー級数近似に基づく：オイラー、ルンゲクッタなど目標：同様の精度を持っている微分方程式を解くための2つの数値のアプローチがあります）:)

1. それらを修正することができテイラー級数を使用していますが、デリバティブを計算しませんデリバティブを計算せずに特定のポイントでのみ関数を評価する、回避策が開発されました。

   b）補間多項式に基づく：多段階法、コロケーション法：過去の情報を利用する。中間の計算はしない（Runge-Kuttaのように）。一般的な考え方は：TNからテネシー州に外挿し+この過去のデータを使用して多項式をフィット+ 1

   安定性：このグラフィックは特定のテスト機能のための安定性を示しています。それは、安定性に来るとき、残念ながら

   を、それをどのODEを解決したいかによって異なります。だから一般的な言い方はありません：このODEではこのメソッドは安定していますか？だから、私たちはさまざまな方法を比較できる、いわゆる "モデル問題"（図参照）を作り出しています。それは正しい？

   Explicit Runge-Kutta法は、絶対安定領域が小さいため、一般的に剛性システムを解くのには適していません。特定の理由はありますか？誰でも簡単な言葉でそれを説明できますか？

   スティッフシステムは、時定数が異なります（高速、低速）。

   暗黙のメソッド：明示的なメソッドよりもはるかに優れた安定性のプロパティを持ちます。明示的な方法は、A-stableにすることはできません（左のプレーンのすべてが安定しています）。安定したメソッドは、ステップの長さに制限がない、彼らは非常に高速です！誰でも簡単な言葉でそれを説明できますか？暗黙のメソッドがA-stableである理由（一部）

   暗黙のメソッドはより計算が集中しますが、おそらくより少ないステップが必要になります。

   「ステップ長制限なし」：数値ソリューションが完全に間違っていても（巨大なステップ長さ）、システムは安定していますか？

   剛性システム（および安定性）に関して、シングルステップ法と比較してマルチステップ法の利点があるのはなぜですか？

Answer 1

Runge-Kutta法の安定領域については、次のように

あなたは、明示的ルンゲクッタ法を記述することができます。

をD/dtをしてみましょう（X）=アックス。 Psi（tau）= P（τ* A）xここで、Pは多項式であり、Psiは位相の流れであり、τ> 0である。 この定理を適用すると：

"多項式の安定領域はコンパクトです。"

明白なルンゲクッタ法がより小さな安定領域を持つ理由を理解することができます。zが+/-無限に収束すれば、P（z）は明らかに+/-無限大に収束する。他方、暗黙的なルンゲクッタ法は、Psi（τ）= R（τ* A）xと書くことができる。ここで、Rは2つの多項式の商Q = P/Qであり、Psiは相の流れであり、 τ> 0である。なぜ彼らの安定領域は大きくなるのでしょうか。