算術演算に通常よりも時間がかかる理由を教えてください。

Question

小さな精度の浮動小数点で算術演算を実行すると、異常な計算時間が検出されました。単純なコード展示以下この動作：Yで

• = 0.5

  X = 0.000000
  時間：1.32000segsここ

  #include <time.h> 
  #include <stdlib.h> 
  #include <stdio.h> 
  
  const int MAX_ITER = 100000000; 
  
  int main(int argc, char *argv[]){ 
      double x = 1.0, y; 
      int i; 
      clock_t t1, t2; 
      scanf("%lf", &y); 
      t1 = clock(); 
      for (i = 0; i < MAX_ITER; i++) 
       x *= y; 
      t2 = clock(); 
      printf("x = %lf\n", x); 
      printf("Time: %.5lfsegs\n", ((double) (t2 - t1))/CLOCKS_PER_SEC); 
      return 0; 
  } 
  

  は、プログラムの2回の異なる実行であります

• Y = 0.9

  X = 0.000000
  時間と共に：19.99000segs

Iコードをテストするために、以下の仕様を有するラップトップを使用しています：

• CPU：インテル®Core™2 DuoプロセッサCPUのT5800する@ 2.00GHz×2
• RAM：4ギガバイト
• OS：Ubuntuの12.04（64ビット）
• モデル：Dellのスタジオ1535

この現象が発生した理由を誰かが詳細に説明してもらえますか？私は、y = 0.9の場合、xの値がy = 0.5の場合よりもゆっくりと0になることを認識しているので、この問題は直接この問題に関係していると考えられます。

Answer 1

非正規化（または、むしろ非正規化）数値は、多くの場合、パフォーマンスが低下します。 2番目の例でゆっくりと0に収束すると、より多くの準異常が生成されます。詳細はhereとhereです。より深刻な読書のためには、引用符付きの（そして非常に密集した）What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmeticをチェックしてください。以下のように、浮動小数点数は、バイナリで表現されているIEEE-754の下

：第2供給源由来

同じ番号を表す複数の方法が潜在的にあり

Number = signbit \* mantissa \* 2exponent

、 例として小数点を使用すると、数字は 1 * 10-1または0.1 * 100または0.01 * 10と表すことができます。標準では、 の数値は常にf最初のビットを1にします。小数では、 は1 * 10-1の例に対応します。

ここで、表現できる最も低い指数が-100であるとします。 したがって、通常の形式で表現できる最小の数字は 1 * 10-100です。しかし、先導ビットが であるという制約を緩和すると、同じ 空間内のより小さい数を実際に表すことができます。小数点の例をとると、0.1 * 10-100を表すことができます。この は非正規数と呼ばれます。異常な数値を持つ目的は、最小の正規数とゼロとの間のギャップを滑らかにすることです。

正常な数よりも精度が劣る であることを理解することは非常に重要です。実際には、彼らはより小さいサイズのために の精度を減らして取引しています。したがって、 の非正常な数値を使用する計算は、通常の数値に対する の計算と同じ精度を持つことはありません。したがって、正規化されていない数値の計算が であるアプリケーションは、おそらく の価値があり、再スケーリング（つまり、数値に の倍率で乗算する）がサブノーマルを少なくし、より正確に の結果を出すかどうかを調べる価値があります。

私はそれを自分自身で説明しようと考えていましたが、上記の説明は非常によく書かれ、簡潔です。

Answer 2

0.9^nはもっとゆっくり数学的に0.5^nよりも0に収束するが、理由はIEEE-754浮動小数点の実装では、それがすべてで0に収束しないので、あなたは、測定可能な差異がない得ます。

最小の正doubleにIEEE-754の表現はy = 0.5と、ループ53の非正規数に遭遇するように最小の正の通常は、2 ^-1021であり、2 ^-1074です。最小正の正規化が達成されると、次の積は2 ^-1075になりますが、ラウンドタイとラストビットスルーのデフォルトの丸めモードは0に丸められます（IEEE-754 表現浮動小数点数とデフォルトのラウンドタイ・トゥ・ラスト・ビット・ゼロの丸めモードは、標準が完全に実装されていなくても、標準のコンシューマ・ハードウェア上では非常に普及しています）。それ以来、あなたには倍数0*yがあります。通常の浮動小数点乗算（それはyが異常な数であっても速いです）。 0.5 < y < 1で

あなたは（正）非正規範囲の下限に到達したら、xの値にx*yラウンドの結果は、再び（y = 0.9ために、反復の固定点は、5 * 2 ^{です - 1074}）。それは数千回の反復（0.9^7 < 0.5）の後で達成されるので、基本的には、非正規数にループ全体の非ゼロ数を掛けています。多くのプロセッサでは、このような乗算は直接処理することができず、マイクロコードで処理する必要があります。

スピードがIEEE-754セマンティクスよりも重要である場合（またはそれらが他の理由で望ましくない場合）、多くのコンパイラはその動作を無効にし、ハードウェアがサポートする場合には異常な数値を0にフラッシュするオプションを提供します。明示的に私のgccのマニュアルページでオプションを見つけることができませんでしたが、-ffast-mathはここでトリックを行いました。