`join`と `fmap join`はHaskellと同じです（カテゴリ理論の観点から）？

Question

私の質問は、ハスケルのモナドの最初の法則から生じます：join . fmap join = join . join。私は、この例では、型のインスタンスではなく、型を使用しているという事実によって混乱しています

：この法律は、以下の画像で示されているHaskell/Category_theoryで

。カテゴリHaskのオブジェクトは型であり、インスタンスではないためです。

だから私は、私が得たものをここにタイプして、この例を再描画しようとした、と：

この写真では、両方の矢印（joinとfmap join）がM(M(X))につながります。これは同じオブジェクトですか、または2つの異なるM(M(X))がありますか？

Answer 1

この例では、型ではなく型のインスタンスを使用しているということで、私は混乱しています。カテゴリHaskのオブジェクトは型であり、インスタンスではないからです。

例は、タイプ自体でクラスのインスタンスを使用します。

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ハスケルでは、これは同じオブジェクト（タイプ）です。 Monad型のインスタンスは型コンストラクタでなければならず、型コンストラクタは注入型でなければなりません。

X = X => M(X) = M(X) => M(M(X)) = M(M(X)) 

ここでキャッチするのは、それらが同じタイプであり値ではないということだけです。 fmap joinとjoinは両方ともMonad m => m (m (m a)) -> m (m a)に特化したタイプを持つことができるので、同じことをするわけではありません。

これらはありません。

ghci> (fmap join) [[[1],[2],[3]]] 
[[1,2,3]]   
ghci> join [[[1],[2],[3]]] 
[[1],[2],[3]] 

すべてのカテゴリの図が通勤図になるわけではありません。 :)

Answer 2

絵から、あなたはfmap joinとjoinが同じタイプの異なる値を生成することがわかります。したがって、の組成がでjoinであっても、最終的には同じ値が生成されますが、それらは同じではありません。

epimorphismはgであり、f1 . g == f2 . gはf1 == f2も意味します。この場合、fmap join . join == join. joinですが、fmap join == joinではないので、joinはではなく、エピモルフィズムであることがわかります。