Carbonを使用できるのであれば、このコードはうまくいきます。
$dateS = new Carbon('first day of January 2016');
$dateE = new Carbon('first day of November 2016');
$result = ModelName::whereBetween('created_at', [$dateS->format('Y-m-d')." 00:00:00", $dateE->format('Y-m-d')." 23:59:59"])->get();
それとも
DB::enableQueryLog();
$dateS = new Carbon('first day of January 2016');
$dateE = new Carbon('first day of November 2016');
$result = ModelName::whereBetween('created_at', [$dateS->format('Y-m-d')." 00:00:00", $dateE->format('Y-m-d')." 23:59:59"])->get();
var_dump($result, DB::getQueryLog());
よう
DB::enableQueryLog();
と
DB::getQueryLog();
機能を使用してクエリをデバッグして問題を確認することができます