楕円フーリエ係数を正規化する方法は？

Question

私は閉曲線の楕円フーリエ係数（EFC）を見つけるためのプログラムを書いていますが、係数の正規化には問題があります。

閉じた平面ポリラインpは、点m_pointsの集合によって記述されます。m_points [i] [0]はxi座標を保持し、m_pointsはiはyi座標を保持します。私はフォーム0をm_num_points-1に開始します。

ポリラインのEFCは、そのアルゴリズムによって計算されます（係数はEFD配列にあります）。

// calc accumulated curve length, delta x, and delta y 
dt[0] := 0; 
dx[0] := 0; 
dy[0] := 0; 
tp[0] := 0; 
T := 0; 
for i:=1 to p.m_num_points-1 do begin 
    va := VectorAffineSubtract(p.m_points[i], p.m_points[i-1]); 
    dt[i] := VectorLength(va); 
    dx[i] := p.m_points[i][0] - p.m_points[i-1][0]; 
    dy[i] := p.m_points[i][1] - p.m_points[i-1][1]; 
    tp[i] := tp[i-1] + dt[i]; 
    T := tp[i]; 
end; 

Tpi := T/(2*PI*PI); 
piT := PI*2/T; 

// find elliptic fourier coefficients 
// first 
An := 0; 
Cn := 0; 
for i:=0 to p.m_num_points-1 do begin 
    An := An + (p.m_points[i][0] + p.m_points[i-1][0]) * dt[i]/2; 
    Cn := Cn + (p.m_points[i][1] + p.m_points[i-1][1]) * dt[i]/2; 
end; 
EFD[0][0] := An/T; 
EFD[0][1] := 0; 
EFD[0][2] := Cn/T; 
EFD[0][3] := 0; 
// next 
for n:=1 to m_num_efd do begin 
    Tn := Tpi/(n*n); 
    piTn := piT * n; 
    An := 0; 
    Bn := 0; 
    Cn := 0; 
    Dn := 0; 
    for i:=1 to p.m_num_points-1 do begin 
     An := An + dx[i]/dt[i]*(cos(piTn*tp[i]) - cos(piTn*tp[i-1])); 
     Bn := Bn + dx[i]/dt[i]*(sin(piTn*tp[i]) - sin(piTn*tp[i-1])); 
     Cn := Cn + dy[i]/dt[i]*(cos(piTn*tp[i]) - cos(piTn*tp[i-1])); 
     Dn := Dn + dy[i]/dt[i]*(sin(piTn*tp[i]) - sin(piTn*tp[i-1])); 
    end; 
    EFD[n][0] := An * Tn; 
    EFD[n][1] := Bn * Tn; 
    EFD[n][2] := Cn * Tn; 
    EFD[n][3] := Dn * Tn; 
end; 

高調波のセットからポリラインを復元するには、そのアルゴリズムを使用します。

// restore outline 
resP := TYPolyline.create(); 
for i:=0 to p.m_num_points-1 do begin 
    xn := EFD[0][0]; 
    yn := EFD[0][2]; 
    for n:=1 to m_num_efd do begin 
     xn := xn + EFD[n][0] * cos(piT*n*tp[i]) + EFD[n][1] * sin(piT*n*tp[i]); 
     yn := yn + EFD[n][2] * cos(piT*n*tp[i]) + EFD[n][3] * sin(piT*n*tp[i]); 
    end; 
    resP.add_point(xn, yn); 
end; 

ここで、EFDを正規化して新しい配列NEFDに配置する必要があります。私はそう：

// Normalize EFD 
An := EFD[0][0]; 
Bn := EFD[0][1]; 
Cn := EFD[0][2]; 
Dn := EFD[0][3]; 

for n:=0 to m_num_efd do begin 
    NEFD[n][0] := EFD[n][0]; 
    NEFD[n][1] := EFD[n][1]; 
    NEFD[n][2] := EFD[n][2]; 
    NEFD[n][3] := EFD[n][3]; 
end; 

// rotate starting point 
angl_o := 0.5 * ArcTan2(2*(An*Bn + Cn*Dn), An*An + Cn*Cn - Bn*Bn - Dn*Dn); 
for n:=1 to m_num_efd+1 do begin 
    NEFD[n-1][0]:= EFD[n-1][0]*cos((n)*angl_o) + EFD[n-1][1]*sin((n)*angl_o); 
    NEFD[n-1][1]:=-EFD[n-1][0]*sin((n)*angl_o) + EFD[n-1][1]*cos((n)*angl_o); 

    NEFD[n-1][2]:= EFD[n-1][2]*cos((n)*angl_o) + EFD[n-1][3]*sin((n)*angl_o); 
    NEFD[n-1][3]:=-EFD[n-1][3]*sin((n)*angl_o) + EFD[n-1][3]*cos((n)*angl_o); 
end; 

// make the semi-major axis parallel to the x-axis 
angl_w := ArcTan(NEFD[1][2]/NEFD[1][0]); 
cs := cos(angl_w); 
ss := sin(angl_w); 
for n:=1 to m_num_efd do begin 
    NEFD[n][0] := cs*NEFD[n][0] + ss*NEFD[n][2]; 
    NEFD[n][1] := cs*NEFD[n][1] + ss*NEFD[n][3]; 

    NEFD[n][2] :=-ss*NEFD[n][0] + cs*NEFD[n][2]; 
    NEFD[n][3] :=-ss*NEFD[n][1] + cs*NEFD[n][3]; 
end; 

// size invariant 
R := sqrt(NEFD[1][0]*NEFD[1][0]); 
for n:=0 to m_num_efd do begin 
    NEFD[n][0] := NEFD[n][0]/R; 
    NEFD[n][1] := NEFD[n][1]/R; 
    NEFD[n][2] := NEFD[n][2]/R; 
    NEFD[n][3] := NEFD[n][3]/R; 
end; 

私は半長軸がXに平行とcoefficeintsを回転させるようにしよう

は、私は醜い結果を得ます。復元された形状がz軸の周りを回転しているように見えます。 （右側に復元された左の光源形状、。）

私のコードが間違っていますか？

UPDATE

@MBoの成功答えは次のコードの修正が必要になったら：

// MODIFIED: change n-1 to n 
// rotate starting point 
angl_o := 0.5 * ArcTan2(2*(An*Bn + Cn*Dn), An*An + Cn*Cn - Bn*Bn - Dn*Dn); 
for n:=1 to m_num_efd+1 do begin 
    NEFD[n][0]:= EFD[n][0]*cos((n)*angl_o) + EFD[n][1]*sin((n)*angl_o); 
    NEFD[n][1]:=-EFD[n][0]*sin((n)*angl_o) + EFD[n][1]*cos((n)*angl_o); 

    NEFD[n][2]:= EFD[n][2]*cos((n)*angl_o) + EFD[n][3]*sin((n)*angl_o); 
    NEFD[n][3]:=-EFD[n][3]*sin((n)*angl_o) + EFD[n][3]*cos((n)*angl_o); 
end; 

// MODIFIED: change left NEFD to EFD 
// make the semi-major axis parallel to the x-axis 
angl_w := ArcTan(NEFD[1][2]/NEFD[1][0]); 
cs := cos(angl_w); 
ss := sin(angl_w); 
for n:=1 to m_num_efd do begin 
    EFD[n][0] := cs*NEFD[n][0] + ss*NEFD[n][2]; 
    EFD[n][1] := cs*NEFD[n][1] + ss*NEFD[n][3]; 

    EFD[n][2] :=-ss*NEFD[n][0] + cs*NEFD[n][2]; 
    EFD[n][3] :=-ss*NEFD[n][1] + cs*NEFD[n][3]; 
end; 

// ADDED: place normalized EFD into NEFD 
for n:=0 to m_num_efd do begin 
    NEFD[n][0] := EFD[n][0]; 
    NEFD[n][1] := EFD[n][1]; 
    NEFD[n][2] := EFD[n][2]; 
    NEFD[n][3] := EFD[n][3]; 
end; 

Answer 1

考えられる原因：あなたがNEFD[n][0]の修正値を使用し、このサイクルで
新しい値NEFD[n][2]（NEFD[n][1]と同じ）を計算します。変更されていない値を保存して使用する必要があるようです。

for n:=1 to m_num_efd do begin 
    NEFD[n][0] := cs*NEFD[n][0] + ss*NEFD[n][2]; 
    NEFD[n][1] := cs*NEFD[n][1] + ss*NEFD[n][3]; 

         vvvvvvvvv 
    NEFD[n][2] :=-ss*NEFD[n][0] + cs*NEFD[n][2]; 

         vvvvvvvvv 
    NEFD[n][3] :=-ss*NEFD[n][1] + cs*NEFD[n][3]; 
end;