Mathematicaのべき乗累乗と指定された係数の発見

Question

私は次のコードを持っています。それはまさに私がしたいことですが、まったく遅いです。コードを「手動で」処理するとき、つまり部品に分割して個別に実行するときを除いて、瞬時に近いことを除いては、私は心配していません。私は合計を最適化しようとしていると思いますが、わからない

：

Coefficient[Product[Sum[x^(j*Prime[i]), {j, 0, Floor[q/Prime[i]]}], 
         {i, 1, PrimePi[q]}], x, q] 

画像がわかりやすくするために追加しました：

は、ここに私のコードです。それを止める方法はありますか？

さらに、私のすべての係数は正であり、x^q番目のものだけが必要なので、Mathematicaにそれより大きなすべての指数を破棄させ、それらの乗算をすべて行わない方法がありますか？

Answer 1

私はあなたが望むものを誤解しているかもしれませんが、係数がqに依存するため、具体的に評価されたいと思います。q私はprodutとsumを最適化するための時間が取られていると（あなたのように）思っていたので、私はそれを書き直しました。私は

With[{q = 80}, 
Coefficient[Times @@ 
Table[Plus @@ Table[x^(j*Prime[i]), {j, 0, Floor[q/Prime[i]]}], 
     {i, 1, PrimePi[q]}], x, q]] // Timing 
(* 
-> {8.36357, 10003} 
*) 

（これは単なる用語のリストを構築し、それらを乗算し、そのシンボリック解析が実行されません）として純粋に構造的な操作で書き直し

With[{q = 80}, Coefficient[\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(i = 1\), \(PrimePi[q]\)]\((
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 0\), \(\[LeftFloor] 
\*FractionBox[\(q\), \(Prime[i]\)]\[RightFloor]\)] 
\*SuperscriptBox[\(x\), \(j*Prime[i]\)])\)\), x, q]] // Timing 
(* 
-> {8.36181, 10003} 
*) 

：あなたのような何かを持っていました。

多項式を瞬時に構築していますが、数千の項があるので、おそらく起きているのはCoefficientが正しい係数を持つように時間を費やすことです。実際には、多項式を使ってExpandでこれを解くことができます。したがって：

With[{q = 80}, Coefficient[Expand[\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(i = 1\), \(PrimePi[q]\)]\((
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 0\), \(\[LeftFloor] 
\*FractionBox[\(q\), \(Prime[i]\)]\[RightFloor]\)] 
\*SuperscriptBox[\(x\), \(j*Prime[i]\)])\)\)], x, q]] // Timing 
(* 
-> {0.240862, 10003} 
*) 

また、私の方法でも動作します。

要約すると、係数の前に式の前にExpandを貼り付けるだけです。

Answer 2

元のコードが遅い理由は、非常に大きな式でもCoefficientが動作するようになっているからだと思います。ここで

は、元の多項式です：

In[2]:= Through[{LeafCount, ByteCount}[poly[300, x]]] // Timing 
     Through[{LeafCount, ByteCount}[Expand@poly[300, x]]] // Timing 
Out[2]= { 0.01, { 1859, 55864}} 
Out[3]= {25.27, {77368, 3175840}} 

今の係数を定義してみましょう：

poly[q_, x_] := Product[Sum[ x^(j*Prime[i]), 
          {j, 0, Floor[q/Prime[i]]}], {i, 1, PrimePi[q]}] 

はq大きすぎないため、多項式を拡大すると、より多くのメモリを占有し、かなり遅くなる方法を参照してください。 3つの異なる方法と時間で

coeff[q_] := Module[{x}, Coefficient[poly[q, x], x, q]] 
exCoeff[q_] := Module[{x}, Coefficient[Expand@poly[q, x], x, q]] 
serCoeff[q_] := Module[{x}, SeriesCoefficient[poly[q, x], {x, 0, q}]] 

In[7]:= Table[ coeff[q],{q,1,30}]//Timing 
     Table[ exCoeff[q],{q,1,30}]//Timing 
     Table[serCoeff[q],{q,1,30}]//Timing 
Out[7]= {0.37,{0,1,1,1,2,2,3,3,4,5,6,7,9,10,12,14,17,19,23,26,30,35,40,46,52,60,67,77,87,98}} 
Out[8]= {0.12,{0,1,1,1,2,2,3,3,4,5,6,7,9,10,12,14,17,19,23,26,30,35,40,46,52,60,67,77,87,98}} 
Out[9]= {0.06,{0,1,1,1,2,2,3,3,4,5,6,7,9,10,12,14,17,19,23,26,30,35,40,46,52,60,67,77,87,98}} 

In[10]:= coeff[100]//Timing 
      exCoeff[100]//Timing 
     serCoeff[100]//Timing 
Out[10]= {56.28,40899} 
Out[11]= { 0.84,40899} 
Out[12]= { 0.06,40899} 

だから、SeriesCoefficientは間違いなく行く方法です。コースの場合を除き、あなたは私よりも組み合わせ論で少し良く だし、あなたはそれがプログラミングの事の生活より思える@George次プライムパーティション式 （oeis）

In[13]:= CoefficientList[Series[1/Product[1-x^Prime[i],{i,1,30}],{x,0,30}],x] 
Out[13]= {1,0,1,1,1,2,2,3,3,4,5,6,7,9,10,12,14,17,19,23,26,30,35,40,46,52,60,67,77,87,98} 

In[14]:= f[n_]:=Length@IntegerPartitions[n,All,Prime@Range@PrimePi@n]; Array[f,30] 
Out[14]= {0,1,1,1,2,2,3,3,4,5,6,7,9,10,12,14,17,19,23,26,30,35,40,46,52,60,67,77,87,98}