補助配列を使用した2次元バイナリインデックスツリーの実装

Question

バイナリインデックスツリーは2次元でも実装できます。しかし、1次元の実装とは異なり、補助配列が必要です。

実装は、このアルゴリズムでは、このauxilary配列の目的は何このarticle

using namespace std; 

#define N 4 // N-->max_x and max_y 

struct Query 
{ 
    int x1, y1; // x and y co-ordinates of bottom left 
    int x2, y2; // x and y co-ordinates of top right 
}; 


void updateBIT(int BIT[][N+1], int x, int y, int val) 
{ 
    for (; x <= N; x += (x & -x)) 
    { 
     for (; y <= N; y += (y & -y)) 
     BIT[x][y] += val; 
    } 
    return; 
} 

// A function to get sum from (0, 0) to (x, y) 
int getSum(int BIT[][N+1], int x, int y) 
{ 
    int sum = 0; 

    for(; x > 0; x -= x&-x) 
    { 
     // This loop sum through all the 1D BIT 
     // inside the array of 1D BIT = BIT[x] 
     for(; y > 0; y -= y&-y) 
     { 
     sum += BIT[x][y]; 
     } 
    } 
    return sum; 
} 

void constructAux(int mat[][N], int aux[][N+1]) 
{ 
    // Initialise Auxiliary array to 0 
    for (int i=0; i<=N; i++) 
    for (int j=0; j<=N; j++) 
    aux[i][j] = 0; 

    // Construct the Auxiliary Matrix 
    for (int j=1; j<=N; j++) 
    for (int i=1; i<=N; i++) 
    aux[i][j] = mat[N-j][i-1]; 

    return; 
} 

// A function to construct a 2D BIT 
void construct2DBIT(int mat[][N], int BIT[][N+1]) 
{ 
    // Create an auxiliary matrix 
    int aux[N+1][N+1]; 
    constructAux(mat, aux); 

    // Initialise the BIT to 0 
    for (int i=1; i<=N; i++) 
    for (int j=1; j<=N; j++) 
    BIT[i][j] = 0; 

    for (int j=1; j<=N; j++) 
    { 
     for (int i=1; i<=N; i++) 
     { 
     // Creating a 2D-BIT using update function 
     // everytime we/ encounter a value in the 
     // input 2D-array 
     int v1 = getSum(BIT, i, j); 
     int v2 = getSum(BIT, i, j-1); 
     int v3 = getSum(BIT, i-1, j-1); 
     int v4 = getSum(BIT, i-1, j); 

     // Assigning a value to a particular element 
     // of 2D BIT 
     updateBIT(BIT, i, j, aux[i][j]-(v1-v2-v4+v3)); 
     } 
    } 

    return; 
} 

// A function to answer the queries 
void answerQueries(Query q[], int m, int BIT[][N+1]) 
{ 
    for (int i=0; i<m; i++) 
    { 
     int x1 = q[i].x1 + 1; 
     int y1 = q[i].y1 + 1; 
     int x2 = q[i].x2 + 1; 
     int y2 = q[i].y2 + 1; 

     int ans = getSum(BIT, x2, y2)-getSum(BIT, x2, y1-1)- 
     getSum(BIT, x1-1, y2)+getSum(BIT, x1-1, y1-1); 

     printf ("Query(%d, %d, %d, %d) = %d\n", 
     q[i].x1, q[i].y1, q[i].x2, q[i].y2, ans); 
    } 
    return; 
} 

// Driver program 
int main() 
{ 
    int mat[N][N] = {{1, 2, 3, 4}, 
        {5, 3, 8, 1}, 
        {4, 6, 7, 5}, 
        {2, 4, 8, 9}}; 

    // Create a 2D Binary Indexed Tree 
    int BIT[N+1][N+1]; 
    construct2DBIT(mat, BIT); 

    Query q[] = {{1, 1, 3, 2}, {2, 3, 3, 3}, {1, 1, 1, 1}}; 
    int m = sizeof(q)/sizeof(q[0]); 

    answerQueries(q, m, BIT); 

    return(0); 
} 

Answer 1

に記載されている。このアルゴリズムでは、このauxilary配列の目的は何ですか？

このアルゴリズムでは、原点を行列の左下として使用しているため補助配列が必要ですが、左上を原点として使用する場合は不要です。