ジョイント分布のセクションの確率を計算する

Question

2つの独立した正規確率変数の連続的なジョイン分布を考えてみましょう（独立した変数がX軸とZ軸にあり、依存関係 - ジョイント確率 - Y軸）、私はXZ平面のどこにでも線を持っていますが、その線の一方または他方に落ちる点の確率はどのように計算されますか？

Answer 1

まず、2つの正規分布（XとZ）がゼロになるようにすべてを移動します。今や共同起源は起源を中心とする丘になるでしょう。

2つの分布が同じ分散（または「幅」）を持つように軸の1つをスケールします。今、結合確率は、回転対称の丘でなければならない。

ここで問題となるのは、線がどれほど近くにあるかです。線が軸の1つ、たとえばZと平行になるまで、原点を中心に回転します（これにより関節の確率は変化しません）。次に、ランダムな点のX値がX値より大きいか小さくなる確率を求めています行のこれは、スケーリングされた分布関数のいずれかによって決定され（同じです）、エラー関数を使用して計算できます。

これは役に立つと思ったら数学を書くことができます。

編集：私は最後のステップを書き出しようとします。私の原油アスキーを許して、私は良い数学のタブレットにアクセスする必要はありません。

我々はスケールとなるようSIGMAX = sigmaZ = 1ディストリビューションを中心に、そしてすべての回転たとし：ランダム点が狭い「垂直」のストリップになる確率を見つけること

今

 
joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2) 

line: x = c 

をいくつかのxとx + dxの間：

 
P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)} 
     = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)} 
     = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 

しかし、これは2つの正規分布のどちらかと同じです。たとえば、ランダムな点が行の左側に来る確率は、

 
P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)} 
     = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))