非常に大きな正弦波の標準

Question

私は（ほぼ）IEEE 854準拠の浮動小数点実装をTeX（これは32ビット整数のみをサポートしています）に書いています。この標準は、+、-、*、/、比較、剰余、およびsqrtの結果を指定します。これらの操作のために、結果は、（丸めモードに従って）表現可能な数値に厳密な結果を丸めると同一であるべきです。

IEEEは、超越関数（sin、exp ...）が忠実な結果をもたらすべきであることを指定していることを思い出しているようです（デフォルトの丸めモードでは、正確な結果を表す2つの表現可能な数値）。小数の正弦を計算することは簡単です：[0,2 * pi]の範囲の数値を得るために2 * piの倍数だけシフトさせ、[0、pi/4] 、およびテイラーシリーズを使用します。

ここで、sin（1e300）を計算したいとします。そのためには、1e300 modulo 2 * piを見つける必要があります。それはpiの300（316？）小数を知ることを必要とします、なぜなら16小数しかないので、結果は何の意味も持たないからです（特に忠実ではありません）。

sin(1e300)の結果と同様の非常に大きな数値には何の基準がありますか？

他の浮動小数点実装は何をしますか？

Answer 1

超越関数の忠実な丸めを必要とする標準はありません。 IEEE-754（2008）は、を推奨していますが、これらの関数が正しく丸められる必要はありません。

ほとんどの優れた数学ライブラリは、すべての範囲（正確には、sin()の巨大な入力および同様の困難なケースであっても）に忠実に丸めた結果を提供するよう努めています。あなたが注意するように、これは、図書館がπの幾分多くの桁を知っていなければならず、表現可能な最大の数字に桁があることを必要とする。これを「無限π」引数削減と呼びます。

良い数学ライブラリは、入力が無限に正確である（すなわち、入力が常に正確に表されているかのように振舞う）という観点を採用しています。これが合理的な立場かどうか議論することはできますが、本質的にすべての良い数学図書館の実用的な前提です。

簡単な経路をとり、基本的にsin()のような機能を扱う「有限pi」リダクションを使用するライブラリがたくさんあります。これはπが表現可能な有限数であるかのようです。これは実際にのためにほとんどの問題を引き起こさないことが判明し、の使用が確実に実現しやすくなります。

Answer 2

あなたは、このような大量の操作をやっている場合は、もちろんあなたは精度が不足するつもりだ：

#include <iostream> 
#include <math.h> 

int main() { 
    long double i = 1; 
    std :: cout << sin (i) << "\n" << sin (i+0.1) << "\n"; 
    i = pow (10, 300); 
    std :: cout << sin (i) << "\n" << sin (i+0.1); 
} 

出力：

0.841471

0.891207

-0.817882

-0.81788

入力を正確に表現できない場合は、出力を正確に表現できません。 pi*pow(10,int(log_10(n/pi))を引いたり、「小さな」ものを悪化させるものはnだが、nが適切に大きくなると、雑音にノイズが追加されてしまい、それ以上は問題にならない。