ハスケルの関数の等価性

Question

Double -> Double関数をとり、その数学的導関数を返す関数を定義しようとしています。私は、次の操作を実行しようとしている：

der :: (Double -> Double) -> (Double -> Double) 
der f 
    | f == exp = exp 
    | otherwise = undefined 

が、Haskellは==Double -> Double上の値をサポートしていません。ハスケルで私がやろうとしていることは不可能ですか？

Answer 1

はい、あなたはしようとしていることは、Haskellでは不可能であり、一般的には：すべての可能な入力が同じであるかどうかを判断することです。停止問題。

Doubleをシミュレートする（つまり同じインスタンスを使用するため、代わりに使用できる）カスタムタイプを使用して周囲を乗り越えることができますが、数値に評価する代わりに、関数が行う操作の抽象的な表現を構成します。 Exprは、数学的関数定義f(x) = ...の右側を表す。

diff X = Const 1 
diff (Const _) = Const 0 
diff (Plus a b) = Plus (diff a) (diff b) 
diff (Exp a) = Mult (diff a) (Exp a) 
... 

全てを持つ：

fromFunction :: Floating a => (a -> a) -> Expr 
fromFunction f = f X 

toFunction :: Expr -> (Double -> Double) 
toFunction X = \x -> x 
toFunction (Const a) = const a 
toFunction (Plus a b) = \x -> (toFunction a x) + (toFunction b x) 
... 

あなたはまた、式を差別化機能diff :: Expr -> Exprを定義することができます。

data Expr = X | Const Double | 
      Add Expr Expr | Mult Expr Expr | 
      Negate Expr | Inverse Expr | 
      Exp Expr | Log Expr | Sin Expr | ... 
     deriving (Show, Eq) 

instance Num Expr where 
    (+) = Add 
    (*) = Mult 
    ... 
instance Fractional Expr where 
    recip = Inverse 
    ... 
instance Floating Expr where 
    pi = Const pi 
    exp = Exp 
    log = Log 
    sin = Sin 
    ... 

その後、あなたは機能とExpr sの間で変換する変換関数を定義することができますこれらの部分は、（いくつかの）機能を区別できることを意味するはずです。

f x = sin x + cos x * exp x 
f' = toFunction . diff . fromFunction $ f 

警告：Exprの完全なEqインスタンスを定義

• これは一般的に動作しません、
• は（それが基本的であるため、それは、停止問題と等価であるトリッキーであります2つの関数が等しいかどうかを調べる）、
• このコードは実際にテストされていません。
• 実行時に再構築が行われるため、結果として得られる関数は非常に遅い可能性が高くなります。

Answer 2

関数の等価性は拡張的でなければならないため、一般的に等価性のテストは不可能です。すなわち、すべての引数に対して同じ結果を返す場合、2つの関数が等しいとします。

しかし、異なる型を使用するHaskellで派生物を定義する他の方法があります。例えば、Automatic Differentiation,simpler version of AD。