ガウスカーネル確認

Question

私はこのカーネル関数も放射基底関数として知られている

を実装しようとしています。 a = 2,b = 1およびσ = 150とする。

• Xiは425x3マトリックス
• Xjのは、4x3の行列

である私は、このコードを思い付いてきましたが、私はそれが正しいかはわかりません。手伝って頂けますか？

kS = exp(- (pdist2(Xj,Xi).^2)/(sigma^2)) 

Answer 1

注：問題の定義を誤って解釈したため、元の回答は完全に再定義されました。

XiとXjの間のカーネル距離の評価を以下に示します。アルゴリズムを実装する2つのコードが示されています。最初のコードは非効率的ですが、カーネルの距離の定義に簡単に関連付けることができます。 2番目のコードははるかに効率的ですが、いくつかのベクトル化のために明確ではないかもしれません。

1. XiとXjは、それぞれ、425および4点を含む2つのデータセットである：

   コードは、問題の以下の解釈を前提としています。各点はR^3（次元3の実ベクトル空間）に属します。

2. 2つのデータセット間のカーネル距離は、J.M. PhillipsとS. Venkatasubramanianの論文「カーネル距離の穏やかな入門」に記載されている定義に従って計算されます。これは、linkにあります。定義はまた、下に設けられている。

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アルゴリズムの最も簡単な実装：

% Initialisation. 
clear; 
clc; 

% Construct Xi. 
Xi = [randn(425, 1) randn(425, 1) randn(425, 1)]; 

% Definition of Xj. 
Xj = [0.1 0.2 0.3; 0 0 0; -0.1 -0.1 -0.2; 1 -8 4]; 

% Convert to cell arrays. 
Xi = mat2cell(Xi, ones(1, length(Xi(:, 1))), 3); 
Xj = mat2cell(Xj, ones(1, length(Xj(:, 1))), 3); 

% First, construct the kernel function for the evaluation of individual 
% points in Xi and Xj 
omega = 150; 
a = 2; 
kerFunction = @(xi, xj) exp(sum(abs(xi - xj).^a)/(omega^2)); 

kerDist = 0; 
for i = 1 : length(Xj) 
    for j = 1 : length(Xj) 
     kerDist = kerDist + kerFunction(Xj{i}, Xj{j}); 
    end 
end 
for i = 1 : length(Xi) 
    for j = 1 : length(Xi) 
     kerDist = kerDist + kerFunction(Xi{i}, Xi{j}); 
    end 
end 
for i = 1 : length(Xi) 
    for j = 1 : length(Xj) 
     kerDist = kerDist - 2*kerFunction(Xi{i}, Xj{j}); 
    end 
end 

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アルゴリズムのより効率的な実装があります以下に示す：

clear; 

% Define constants. 
omega = 150; 
a = 2; 

% Definition of Xi. 
Xi = [randn(425, 1) randn(425, 1) randn(425, 1)]; 

% Definition of Xj. 
Xj = [0.1 0.2 0.3; 0 0 0; -0.1 -0.1 -0.2; 1 -8 4]; 

% Definition of the characteristics of the data sets. 
numPointsXj = length(Xj(:, 1)); 
numPointsXi = length(Xi(:, 1)); 

% Define a handle function for the definition of indices for the 
% vectorisation of the kernel function. 
hdlRepIdxPermutation = @(numPoints, numMatrixRep) ... 
    repmat(... 
    (1 : numPoints : numPoints*(numMatrixRep - 1) + 1)', ... 
    1, numPoints ... 
    ) + ... 
    repmat(0 : (numPoints - 1), numMatrixRep, 1); 

tic 

% Calculate the term that corresponds to K(p, p') in the definition of the 
% kernal distance. 
repXiRight = repmat(Xi, numPointsXi, 1); 
leftIdxPermutationXi = hdlRepIdxPermutation(numPointsXi, numPointsXi); 
repXiLeft = repXiRight(leftIdxPermutationXi(:), :); 

kerDistComp1 = sum(exp(sum(abs(repXiLeft - repXiRight).^a, 2)/(omega^2))); 

% Calculate the term that corresponds to K(q, q') in the definition of the 
% kernal distance. 
repXjRight = repmat(Xj, numPointsXj, 1); 
leftIdxPermutationXj = hdlRepIdxPermutation(numPointsXj, numPointsXj); 
repXjLeft = repXjRight(leftIdxPermutationXj(:), :); 

kerDistComp2 = sum(exp(sum(abs(repXjLeft - repXjRight).^a, 2)/(omega^2))); 

% Calculate the term that corresponds to K(p, q) in the definition of the 
% kernal distance. 
repXjRight = repmat(Xj, numPointsXi, 1); 
repXiLeft = repmat(Xi, numPointsXj, 1); 
leftIdxPermutationXi = hdlRepIdxPermutation(numPointsXi, numPointsXj); 
repXiLeft = repXiLeft(leftIdxPermutationXi(:), :); 
kerDistComp3 = -2*sum(exp(sum(abs(repXiLeft - repXjRight).^a, 2)/(omega^2))); 

kerDist = kerDistComp1 + kerDistComp2 + kerDistComp3; 

toc 

disp(kerDist);